西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY$ 8.3不变因子一、行列式因子二、 不变因子
一、行列式因子 二、不变因子 §8.3 不变因子
西安毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY一、行列式因子1. 定义:设一矩阵A()的秩为 r,对于正整数k,1≤k≤r,A(a)中必有非零的k级子式,A(a)中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式 Dk(a),称为A()的k阶行列式因子,注:若 秩(A(a)=r,则 A(a)有 r个行列式因子
1. 定义: 一、行列式因子 注: k 阶行列式因子. 的首项系数为1的最大公因式 Dk ( ), 称为 A( ) 的 A( ) 中必有非零的 k 级子式, A( ) 中全部 k 级子式 设 -矩阵 A( ) 的秩为 r ,对于正整数 k , 1 , k r 若 秩( A r ( ) ) = ,则 A( ) 有 r个行列式因子
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY2.有关结论1)(定理3)等价矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子,(即初等变换不改变一矩阵的秩与行列式因子)证:只需证,一矩阵经过一次初等变换,秩与行列式因子是不变的。设 A(a)经过一次初等变换变成B(a),f(a)与g(a) 分别是 A(a)与 B(a)的k级行列式因子.下证f=g,分三种情形:
行列式因子. 1) (定理3)等价矩阵具有相同的秩与相同的各级 (即初等变换不改变 -矩阵的秩与行列式因子) 证:只需证, -矩阵经过一次初等变换,秩与行 列式因子是不变的. 2. 有关结论 设 A( ) 经过一次初等变换变成 B( ) , f ( ) 与 g( ) 分别是 A( ) 与 B( ) 的 k级行列式因子. 下证 f g = ,分三种情形:
西要毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY① A(a)[i]>B(a)。此时 B(2) 的每个k 级子式或者等于A()的某个k级子式,或者与 A() 的某个k 级子式反号.因此,f(a)是B(a)的k级子式的公因式,从而f(a)g(a)② A(a)[i(o)]>B(2)。此时 B(a) 的每个k 级子式或者等于 A(α) 的某个k级子式,或者等于A() 的某个k级子式的c倍. 因此,f(a)是B(2)的k级子式的公因式,从而f(a)g(a)
k 级子式反号. 公因式, 此时 B( ) 的每个 k 级子式或 者等于 A( ) 的某个 k 级子式,或者与 A( ) 的某个 因此, f ( ) 是 B( ) 的 k 级子式的 , ( ) ( ). i j ① A B ⎯⎯⎯→ 从而 f g ( ) ( ). ( ) ( ) ( ). i c A B ② ⎯⎯⎯→ k 级子式的c倍. 者等于 A( ) 的某个 k 级子式,或者等于 A( ) 的某个 此时 B( ) 的每个 k 级子式或 因此, f ( ) 是 B( ) 的 k 级子式的 公因式, 从而 f g ( ) ( ).
西安毛子科技大学KIDIANUNIVERSI[i+i(o)]>B(a)。此时B(a)中包含i,j两行③ A(a)的和不包含j行的那些k级子式与 A(a)中对应的k级子式相等;B(a)中包含i行但不包含j行的k级子式,按i行分成A(a)的一个k级子式与另一个k级子式的土β()倍的和,即为A(α)的两个k级子式的组合,因此f(2)是B(2)的k级子式的公因式,从而 f(a)g(a).:: f(a)=g(a).同理可得, g(a)f(a)
此时 B( ) 中包含 i j , 两行 级子式相等; ( ) ( ) ( ). i j A B + ③ ⎯⎯⎯⎯→ 的和不包含 j 行的那些 k 级子式与 A( ) 中对应的 k B( ) 中包含 i 行但不包含 j 行的 k 级 子式,按 i 行分成 A( ) 的一个 k 级子式与另一个 k 级子式的 ( ) 倍的和,即为 A( ) 的两个 k 级子式 从而 f g ( ) ( ). 的组合, 因此 f ( ) 是 B( ) 的 k 级子式的公因式, 同理可得, g f ( ) ( ). = f g ( ) ( ).
西要毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY2)若-矩阵A(2)的标准形为d,(a)d,(a)D(a) =00其中d,(a),d,(a)为首1多项式,且d,(a)di+r(a), i =1,2,.r -1,则 A() 的 k级行列式因子为D,(a) = d,(a)d,(a)...d,(a), k =1,2,...r
2)若 − 矩阵 A( ) 的标准形为 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d D = 其中 d d 1 ( ), ( ) r 为首1多项式,且 1 ( ) ( ), 1,2, 1, i i d d i r + = − 则 A( ) 的 k 级行列式因子为 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2, . D d d d k r k k = =
西安毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY证:: A(2) 与 D(2)等价.A(2) 与 D(2)有相的秩与行列式因子.在D(2)中,若一个k级子式包含的行、列指标不完全相同,则这个k级子式为零,所以只需考虑由i,iz,…i行与i,i,…i列组成的k级子式 (1≤i,i,i≤r),即 d,(a)...d, (a).而这种k级子式的最大公因式为 d,(a)d,(a)…d,(a)所以,A(a)的k级行列式因子D,(a)=d;(a)d,(a)...d,(a), k =1,2,..r
证: A( ) 与 D( ) 等价, 完全相同,则这个 k 级子式为零. 在 D( ) 中,若一个 k 级子式包含的行、列指标不 A D ( ) ( ) 与 有相的秩与行列式因子. 1 2 (1 , , ), k 级子式 i i i r 所以只需考虑由 i i i 1 2 , , k 行与 i i i 1 2 , , k 列组成的 k 1 ( ) ( ). k i i 即 d d 而这种 k 级子式的最大公因式为 1 2 ( ) ( ) ( ). k d d d 所以, A( ) 的 k 级行列式因子 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2, . D d d d k r k k = =
西安毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITY3)(定理4)一矩阵的标准形是唯一的证:设-矩阵A()的标准形为d(a)d,(a)D(a)=10)其中 d,(a),d,(a)为首1多项式,且d,(a)di+i(a), i = 1,2,...r-1
证:设 − 矩阵 A( ) 的标准形为 3)(定理4) − 矩阵的标准形是唯一的. 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d D = 其中 d d 1 ( ), ( ) r 为首1多项式,且 1 ( ) ( ), 1,2, 1, i i d d i r + = −
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY由2),A(α)的k级行列式因子为D,(a) = d,(a)d,(a)...d,(a), k =1,2,...r.于是D,(a)D,(a)d,(a)= D,(a), d,(a) =d.(2)D,(a)Dr-i(a)即 d,(a),,d,(a)由 A(a)的行列式因子所唯一确定所以 A(2)的标准形唯一,秩为r的一矩阵的 r个行列式因子满足:40D,(a)Dk+i(a), k =1,2,.",r -1
于是 2 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) , , ( ) ( ) ( ) r r r D D d D d d D D − = = = 即 d d 1 ( ), , ( ) r 由 A( ) 的行列式因子所唯一确定. 由2), A( ) 的 k 级行列式因子为 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2, . D d d d k r k k = = 4)秩为 r 的 − 矩阵的 r 个行列式因子满足: 1 ( ) ( ), 1,2, , 1. D D k r k k + = − 所以 A( ) 的标准形唯一
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY二、不变因子1.定义:-矩阵 A(α)的标准形d(a)d,(a)D(a) =0的主对角线上的非零元素 d,(a),d,(a),,d,(a)称为 A(a)的不变因子
1. 定义: 二、不变因子 − 矩阵 A( ) 的标准形 称为 A( ) 的不变因子. 1 2 ( ), ( ), , ( ) r 的主对角线上的非零元素 d d d 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d D =