西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第四章 矩阵 4.7 分块乘法的初等变换及应用

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY84.7分块乘法的初等变换及应用举例一、分块乘法的初等变换二、应用举例

一、分块乘法的初等变换 二、应用举例

西安毛子科技大学二XIDIANUNIVERSITY一、分块乘法的初等变换E0E分块成作1次“初等变换”可得0En0(2.) (2.).0P(F );E00mE.F

E分块成 ，作1次“初等变换”可得 0 0 m n E E       0 , 0 n m E E      , 0 m n E P E       0 , 0 n P E       0 . m n E P E       0 ; 0 Em P       0 ; 0 m n E E       一、分块乘法的初等变换

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY且有BD(onDA BE)(a B)-( p)4DEBA(Fs 2.)( B)-(C+PA D+PB特别地，若A可逆，令P=-CA-I．上式变为：BEmＡB2?-CA-I E.CDD-CA-"B0

且有 ( ) ( ) 0 . m n E A B A B P E C D C PA D PB     = + +   ( ) ( ) 0 , 0 n m E A B C D E C D A B     =  ( ) ( ) 0 , 0 n P A B PA PB E C D C D     =   若A可逆，令 ．上式变为： 1 P CA− = − 1 1 ( ) 0 0 m n E A B A B CA E D CA B C D − −       =     − −   特别地

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY二、应用举例0A.D可逆，求 T-1例1. T =(C D)A,(LEa- 2.)( )-(6 D)解：由(68)"-()及

二、应用举例 例1．T ( A 0 ), A，D可逆，求 T −1． C D = 解： 及 ( ) 1 1 1 0 0 0 0 A A D D − − −   =     1 ( ) ( ) 0 0 0 0 m n E A A CA E C D D −     = −  由

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY- 2) (有 ()E-CA-I E.D-A-10(-D-'CA-1 D-1

( ) 1 1 1 1 m 0 0 n E A T CA E C D − − − −     =     −       有 1 1 1 1 A 0 D CA D − − − −   =     − 1 1 1 0 0 0 m n A E D CA E − − −    =    −   

西安毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY111i-1 i -1，求A-1例2. A =1. -11 -11 -1 -1 1-(4 4), 4-(1)解：把A分块成A=则 A --(=1 1) =14.(6 E)(4 A)(E 2)又(24 -4)(E 2) -(*4 -2)

例2． ，求 ． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A     − − =   − −     − − 1 A − 把A分块成 1 1 1 1 , A A A A A   =     − 1 ( ) 1 1 , 1 1 A = − ( ) 1 1 1 1 1 2 1 1 A − − − = − 则 − 解： 1 1 . 2 = A 又 ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 E E E A A E A A E E       − 1 1 2 0 , 0 A A   =   −   ( ) 1 1 1 2 0 A E 0 A A E E   =     −

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITSE(2 -4)(E2)A=0E[6 ](* -4( )]0-()-)J(6E)-1-(62)-)4(6E)中

( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 E E E A A E A E E − − − −     =       −   ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 0 2 0 0 E E E A E E E A − −   =       − ( ) ( ) 1 1 1 0 0 4 1 0 0 2 A E E E E E E A     =     −   ( ) ( ) 1 1 1 1 2 0 0 0 0 E E E A A E A E E − −    =     −

西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY21EE4114.1E0414-44

1 1 1 1 1 1 4 4 1 1 4 4 A A A A     =     −   ( ) 1 1 1 1 0 4 1 1 0 4 2 A E E E A A     =     −   1 . 4 = A

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY例3．证明：[AB=|A|B（A、B为n级方阵)。(5 2)(4 8)-(-% 4)证：作E.E这里再作2n级消法矩阵P=0E,E,中除（ij）的元素为a外，其余元素皆为0由初等矩阵与初等变换的关系，得

例3．证明： AB A B = (A、B为n级方阵)． 作 ( ) ( ) 0 0 , 0 n n E A A AB E E B E B     = − −   证： 再作 2n 级消法矩阵 , 这里 0 n ij ij n E E P E   =     Eij 中除 （i j,） 的元素为 aij 外，其余元素皆为0． 由初等矩阵与初等变换的关系 , 得

西安毛子科技大学二XIDIAN UNIVERSITYEn0P0Enarn而消法变换不改变行列式的值，( )(Pr...Pin./-EPA=[A|B|,-EB

, 0 n n E A E   =     11 1 1 1 1 1 1 n n nn a a a a       =       11 1 1 0 0 n n n nn n E P P P P E       而消法变换不改变行列式的值, ( ) 11 1 1 ( ) 0 0 0 n n n nn n E A A A P P P P E E B E B    =   − −   A 0 E B = − = A B