西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.3 线性变换的矩阵

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYs 7.3线性变换的矩阵线性变换与基！二、线性变换与矩阵三、相似矩阵

一、线性变换与基 二、线性变换与矩阵 §7.3 线性变换的矩阵 三、相似矩阵

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY线性变换与基1：设i,82，,8n是线性空间V的一组基，α为V的线性变换.则对任意 εV 存在唯一的一组数Xi,X2,.,x, E P, 使 5=Xjei +X22 +...+x,en从而, 0(5) = x,o(s)+ x20(c2)+... +x,o(cn).由此知，()由 (c),α(c2),",α(n)完全确定.所以要求V中任一向量在下的象，只需求出V的组基在下的象即可

一、 线性变换与基 的线性变换. 则对任意  V 存在唯一的一组数 1．设    1 2 , , , n 是线性空间V的一组基，  为V x x x P 1 2 , , , , n  使 1 1 2 2 n n     = + + + x x x 从而， 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). n n         = + + + x x x 由此知，  ( ) 由       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 完全确定. 一组基在 下的象即可. 所以要求V中任一向量在  下的象，只需求出V的

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY2．设6j,62,,,是线性空间V的一组基，，为V的线性变换，若 (s,)=t(c;)，i=1,2,,n.则 =t.由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定.3．设81,2，,8n是线性空间V的一组基，对V中任意n个向量αi,α2，",αn，都存在线性变换使i=1,2,...,n(8;) = α

2．设    1 2 , , , n 是线性空间V的一组基，  , 为 V的线性变换，若 ( ) ( ), 1,2, , . i i     = =i n 则   = . 由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定. ( ) , 1,2, , i i   = =i n 1 2 , , , , 任意n个向量   n 都存在线性变换  使 3．设    1 2 , , , n 是线性空间V的一组基，对V中

西安毛子科技大学-XIDIAN UNIVERSITY由2与3即得定理1设,2,8n为线性空间V的一组基对V中任意n个向量α,α2，,αn，存在唯一的线性变换，使α(ε.)=α,i=1,2,.,n

由2与3即得 定理1 设    1 2 , , , n 为线性空间V的一组基， 对V中任意n个向量    1 2 , , , , n 存在唯一的线性 ( ) 1,2, , . i i   = = ， i n 变换  , 使

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY二、线性变换与矩阵1.线性变换的矩阵设8,82,,8为数域P上线性空间V的一组基，为V的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设0(1)=α11e1 +α2162 +...+αnn0(62) = α1261 +α2262 +... +αn2EnO(en) =αinGi +α2ne2 +... +annEn用矩阵表示即为0(81,82,*,8n) =(081,082,"..,08n) =(81,82,.,8n)A

设    1 2 , , , n 为数域P上线性空间V的一组基，  为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设 用矩阵表示即为 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nn n                          = + + +  = + + +   = + + +  1 2 二、 线性变换与矩阵 1．线性变换的矩阵           ( 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , n n n ) = = ( ) ( ) A

西安毛子科技大学=XIDIAN UNIVERSITYαi1inα12其中　A=α21α22d2nαnαn2αnn,矩阵A称为线性变换?在基81,82，8n下的矩阵注:① A的第例是α(s)在基 j,β2,",8n下的坐标,它是唯一的．故在取定一组基下的矩阵是唯一的。②单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵：零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵：数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵：

其中 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n n n nn A              =       ② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； ① A的第i列是  ( )i 在基    1 2 , , , n 下的坐标， 矩阵A称为线性变换  在基 1 2 下的矩阵. , , , n    注： 它是唯一的. 故  在取定一组基下的矩阵是唯一的. 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY例1.设线性空间P的线性变换为0(x1,X2,X) =(X1,X2,X) +X2)求在标准基 81,82,83下的矩阵解: ： α()=(1,0,0)=(1,0,1)(62) = α(0,1,0) = (0,1,1)(83) = α(0, 0,1) = (0, 0, 0)10001(1:: 0(81,62,63) =(61,62,63)110

例1. 设线性空间 P 3 的线性变换  为 1 2 3 1 2 1 2  ( , , ) ( , , ) x x x x x x x = + 求 在标准基 1 2 3 下的矩阵.     , , 解： 3    ( ) (0,0,1) (0,0,0) = = 1    ( ) (1,0,0) (1,0,1) = = 2    ( ) (0,1,0) (0,1,1) = = 1 2 3 1 2 3 1 0 0 ( , , ) ( , , ) 0 1 0 1 1 0           =      

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY例2.设εj,,,,m(m<n)为n维线性空间V的子空间W的一组基，把它扩充为V的一组基:8i,&2,8n(08; = 8;i=1,2,...,m并定义线性变换：i=m+1,...,n(08; = 0则m行O(81,82,**8n)=(81,82,...00称这样的变换为对子空间W的一个投影易验证2=

例2. 设    1 2 , , , ( ) m m n  为n维线性空间V的子空 间W的一组基，把它扩充为V的一组基： 1 2 , , , . n    并定义线性变换 ：  1,2, , 0 1, , i i i i m i m n    = = = = +  ( 1 2 1 2 ) ( ) 1 1 , , , , , , 0 0        n n       =         则    m行 称这样的变换  为对子空间W的一个投影. 易验证 2  =

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY2.线性变换运算与矩阵运算定理21设6i,82，,8n为数域P上线性空间V的一组源基，在这组基下，V的每一个线性变换都与 Pnxn 中的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：①线性变换的和对应于矩阵的和；②线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；③线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应4)酒于逆矩阵

2．线性变换运算与矩阵运算 定理2 设    1 2 , , , n 为数域P上线性空间V的一组 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： 基，在这组基下，V的每一个线性变换都与 中 n n P  ① 线性变换的和对应于矩阵的和； ② 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ③ 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应 于逆矩阵

西安毛子科技大学=XIDIANUNIVERSITY证：设,为两个线性变换，它们在基81,62,",8n下的矩阵分别为A、B，即0(6182,,8.) =(8,82,.,8.)AT(c1,62,*,8n) =(c182,,8n.)B?! (o+t)(e1,e2,",en)=0(81,82,*,en)+t(c1,82,,8n)(e1,82,.*,en)A+(e16,..8n)B(81,82,,8n)(A+B)α+在基1,82,,8n下的矩阵为A+B

证：设  , 为两个线性变换，它们在基 1 2 , , , n    下的矩阵分别为A、B，即        ( 1 2 1 2 , , , , , , n n ) = ( ) A        ( 1 2 1 2 , , , , , , n n ) = ( )B ① (     + )( 1 2 , , , n ) = +         ( 1 2 1 2 , , , , , , n n ) ( ) = + (      1 2 1 2 , , , n n ) A B ( ) ( )( ) 1 2 , , , = +    n A B ∴   + 在基 1 2 下的矩阵为A＋B. , , , n   