第一章多项式S7多项式函数<S1数域S8复、实系数多项式82一元多项式的因式分解S3整除的概念S9有理系数多项式S4最大公因式s10多元多项式S5因式分解s11对称多项式S6重因式
§4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式
$1J11对称多项式一、一元多项式根与系数的关系二、n元对称多项式三、一元多项式的判别式
一、一 元多项式根与系数的关系 二、n元对称多项式 三、一元多项式的判别式
一、一元多项式根与系数的关系韦达定理设 f(x)= x" +ajx"-I + azx"-2 +.+an e P[x]若f(x)在P上有n个根αi,α2αn则2f(x) =(x-aα(x-α)...(x-αn)把②展开，与①比较，即得根与系数的关系：81.11对称多项式
§1.11 对称多项式 ——韦达定理 设 ① 1 2 1 2 ( ) [ ] n n n n f x x a x a x a P x − − = + + + + 若 f x( ) 在 P 上有 n 个根 1 2 , , , ，则 n 1 2 ( ) ( )( ) ( ) n f x x x x = − − − ② 把②展开，与①比较，即得根与系数的关系： 一、一 元多项式根与系数的关系
-a=α+α,++αa,=aa,+aag+...+an-an(-1)'a, -Eαx,a,"-αk;（所有可能的i个不同的a的积之和）(-1)"an =α,α,".αn特别地ax2+bx+c=0(a0)，Xi,为其根，bc则有Xi+X=XiX2aa区区下s1.11对称多项式
§1.11 对称多项式1 2 1 1 2 2 1 2 1 3 1 1 2 ( 1) ( 1) i n n n i i k k k n n n a a a a − − = + + + = + + + − = − = （所有可能的i 个不同的 的积之和） j k a ， 特别地 ， 为其根， 2 ax bx c a + + = 0 ( 0) 1 2 x x, 1 2 1 2 , b c x x x x a a 则有 + = − =
二、n元对称多项式定义设 f(xi,..,xn)eP[xi,x2,"")xnl,若对任意i,j(l≤ij≤n)有f(xi,"",X,"",X,,",xn)= f(x,"",X,,"",X,,",xn)则称该多项式为对称多项式如, f(x,x2,x3)=x +x3+x3区区下81.11对称多项式
§1.11 对称多项式 二 、n 元对称多项式 定义 设 f x x P x x x ( , , ) [ , , , ], 1 1 2 n n ， 若对任意 i j i j n , (1 , ) ，有 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) i j n j i n f x x x x x x = f x x 则称该多项式为对称多项式． 如， 333 1 2 3 1 2 3 f x x x x x x ( , , ) = + +
下列n个多项式O, =X, +X, +...+XnO, = XiX2 +XiX3 +.. +Xn-1Xnon=xX2.xn称为n个未定元X，2,x的初等对称多项式区区下S1.11对称多项式
§1.11 对称多项式 下列n个多项式 1 1 2 2 1 2 1 3 1 1 2 n n n n n x x x x x x x x x x x x − = + + + = + + + = 称为 n 个未定元 x x x 1 2 , , , n 的初等对称多项式．
性质1．对称多项式的和、积仍是对称多项式；对称多项式的多项式仍为对称多项式．即，若fi,f2,",fmEP[xi,X2,",xnl为对称多项式,g(yi,y2,,ym)为任一多项式，则g(fi,f.,..",fm)=h(x,x,,..,x,)是1元对称多项式，特别地，初等对称多项式的多项式仍为对称多项式1.11对称多项式
§1.11 对称多项式 1．对称多项式的和、积仍是对称多项式； 对称多项式的多项式仍为对称多项式． 则 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) m n g f f f h x x x = 是 n 元对称多项式． 特别地，初等对称多项式的多项式仍为对称多项式． 若 f f f P x x x 1 2 1 2 , , , [ , , , ] m n 为对称多项式， g y y y ( , , , ) 1 2 m 为任一多项式， 性质 即
2．对称多项式基本定理对任一对称多项式 f(xi,,xn),都有 n元多项式P(y1,J2,""", yn),使得f(x,".,x,) = p(oi,02,",on)Q1,2,…,α,为初等对称多项式.区区下81.11对称多项式
§1.11 对称多项式 2．对称多项式基本定理 对任一对称多项式 f x x ( , , ) 1 n , 都有 n元多项式 ( , , , ) y y y 1 2 n ,使得 1 1 2 ( , , ) ( , , , ) n n f x x = 1 2 , , , n 为初等对称多项式．
证明：讠设对称多项式f(xi,,x,)按字典排列法的首项为 ax,"x"…x"，则必有1≥l≥.≥, ≥0作对称多项式,=ao,l-h,h-lb...,则1 的首项为ax,-h (xx,)-h..(xx, ..x,)"= ax,x,...x,再作对称多项式fi = f -p = f(x,"",x,)-axx,...x,".区$1.11对称多项式
§1.11 对称多项式 则必有 1 2 0 n l l l 作对称多项式 1 2 2 3 1 1 2 n l l l l l n a − − = 设对称多项式 f x x ( , , ) 1 n 按字典排列法的 1 2 1 2 , n l l l n 首项为 ax x x 证明： 1 2 2 3 1 1 2 1 2 ( ) ( ) n l l l l l n ax x x x x x − − 再作对称多项式 1 2 1 1 1 1 2 ( , , ) n l l l n n f f f x x ax x x = − = − − 则 1 的首项为 1 2 1 2 n l l l n = ax x x
则有比f较“小”的首项。对f重复上述作法，并依此下去。即有一系列对称多项式f, f=f-,f=fi-P2, ..它们的首项一个比一个“小”，所以必终此在有限步故存在heZ, 使 fh=fh-1-Ph=0于是f=+P+..+Ph.这就是一个初等对称多项式的多项式区区下81.11对称多项式
§1.11 对称多项式 则 f 1 有比 f 较“小”的首项． 对 1 重复上述作法，并依此下去. f 即有一系列对称多项式 1 1 2 1 2 f f f f f , , , = − = − 它们的首项一个比一个“小”，所以必终此在有限步． ． 故存在 h Z ，使 + 1 0 h h h f f = − = − 于是 1 2 . h f = + + + 这就是一个初等对称多项式的多项式．