第一章多项式S7多项式函数S1数域s8复、实系数多项式82一元多项式的因式分解S3整除的概念S9有理系数多项式S4最大公因式S10多元多项式S5因式分解s11对称多项式S6重因式
§4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式
数域$11一、数域二、数域性质定理$1.1数域区区下
§1.1 数域 一、数域 二、数域性质定理
数域一、定义设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域常见数域：复数域C；实数域R；有理数域Q；（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域：）$1.1数域
§1.1 数域 一、数域 设P是由一些复数组成的集合，其中包括 数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域． 0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除 常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q； （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．） 定义
说明：1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P中，则说数集P对这个运算是封闭的，2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称集P为一个数域区区F81.1数域
§1.1 数域 说明： 1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P 中，则说数集P对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集P为一个数域．
例1.证明：数集Q(V2)=a+b/2la,beQ是一个数域.证：： 0=0+0/2,1=1+0~2,：： 0,1=Q(V2)又对 Vx,eQ(V/2), 设 x=a+b/2,y=c+d/2a,b,c,deQ,则有x± y=(a±c)+(b±d)/2 Q(V2),x · y = (ac + 2bd)+(ad + bc)/2 = Q(/2)设a+b20，于是a-b/2也不为0.F$1.1数域
§1.1 数域 是一个数域． 例1．证明：数集 Q a b a b Q ( 2) 2 | , = + 证： 0 0 0 2, 1 1 0 2, = + = + 又对 x y Q , ( 2), 设 x a b y c d = + = + 2, 2, 则有 x y ac bd ad bc Q = + + + ( 2 ) ( ) 2 ( 2) 0,1 ( 2) Q a b c d Q , , , , x y a c b d Q = + ( ) ( ) 2 ( 2), 设 a b + 2 0, 于是 a b − 2 也不为0．
(否则，若α-b/2=0，则 a=b/2,"=2=Q,于是有b或 a=0,b=0=a+b/2=0.矛盾)c+d/2(c + d /2)(a - b/2)a+b/2(a + b/2)(a- b/2)ac-2bd , ad-bc2Q.α2 -2b2α2-2b?Gauss数域：Q(V2)为数域类似可证 Q(i)={a+bila,beQ,i= /-1是数域。区Fs1.1数域
§1.1 数域 或 a b = = 0, 0 矛盾） （否则，若 a b − = 2 0, 则 a b = 2, 2 , a Q b 于是有 = + = a b 2 0. 2 ( 2)( 2) 2 ( 2)( 2) c d c d a b a b a b a b + + − = + + − 2 2 2 2 2 2 . 2 2 ac bd ad bc Q a b a b − − = + − − Q( 2) 为数域． 类似可证 Q i a bi a b Q i ( ) , , 1 = + = − 是数域. Gauss数域
例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任意两个数的差与商（除数0）仍属于P，则P为一一个数域.证：由题设任取a,beP，有b0=a-aP,1=eP(b0), a-beP,baE P(b± 0),a+b=a-(0-b)eP,bb0时,ab=1eP,b=0 时,ab=0eP.所以，P是一个数域。F81.1数域
§1.1 数域 例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任 意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一 一个数域． 证：由题设任取 a b P , , 有 0 , = − a a P 1 ( 0), b P b b = a b a b P + = − − (0 ) , a b P − , ( 0), a P b b 所以，P是一个数域． 1 1 0 , b b ab P = 时, b ab P = = 0 0 . 时
二、数域的性质定理任意数域P都包括有理数域Q：即，有理数域为最小数域证明：设P为任意一个数域．由定义可知，OeP, 1eP.于是有VmEZ+, m=1+1+...+1EP81.1数域区下
§1.1 数域 二、数域的性质定理 任意数域P都包括有理数域Q． 即，有理数域为最小数域． 证明： 设P为任意一个数域．由定义可知， 于是有 0 1 . P P ， m Z m P , 1 1 1 + = + + +
进而有mVm,neZt,EP,nmm0E P.-nn而任意一个有理数可表成两个整数的商，.: Q≤P.$1.1数域区区F
§1.1 数域 进而 有 , , , m m n Z P n + 而任意一个有理数可表成两个整数的商， Q P. 0 . m m P n n − = −
附:数环设P为非空数集，若Va,beP,a±beP,a.beP则称P为一个数环.例如，整数集Z就作成一个数环。$1.1数域区区下
§1.1 数域 设P为非空数集，若 则称P为一个数环． 附: a b P a b P a b P , , , 例如，整数集Z 就作成一个数环． 数环