第一章多项式S7多项式函数<S1数域S8复、实系数多项式S2一元多项式的因式分解S3整除的概念S9有理系数多项式S4最大公因式S10多元多项式S5因式分解s11对称多项式S6重因式
§4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式
$110多元多项式一、n元多项式的概念二、 有关性质三、齐次多项式四、n元多项式函数
一、n 元多项式的概念 二、有关性质 三、齐次多项式 四、n 元多项式函数
一、n元多项式概念1.n元多项式设P为一个数域，XiX2，X是n个文字，形式,., aeP, .k,e, i=1,.n,称为数域P上的一个单项式；a≠0时，称此单项式中各文字的指数之和k,+k,+.+k,为这个单项式的次数；R区F81.10多元多项式
§1.10 多元多项式 一、n 元多项式概念 设 P 为一个数域， x x x 1 2 , , , n 是 n 个文字, 形式 1 2 1 2 , , , 1,2, , , n k k k n i ax x x a P k Z i n + = 1.n元多项式 a 0 时，称此单项式中各文字的指数之和 称为数域 P 上的一个单项式； 1 2 n k k k + + + 为这个单项式的次数；
如果两单项式中相同文字的指数对应相等，则称它们为同类项；有限个单项式的和(x,x2,,,) = E ak-x,..x..1kjk2...kn称为数域P上的一个n元多项式：n元多项式中系数不为零的单项式的最高次数称为这个多项式的次数，K下81.10多元多项式
§1.10 多元多项式 有限个单项式的和 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n k k kn k k k n k k k n f x x x a x x x = n元多项式中系数不为零的单项式的最高次数称 称为数域 P 上的一个 n 元多项式； 为这个多项式的次数． 如果两单项式中相同文字的指数对应相等，则称 它们为同类项；
2.n元多项式的运算加法乘法减法3.n元多项式的相等4.n元多项式环数域P上关于文字Xi，X,X，的全体n元多项式的集合称为数域P上的n元多项式环，记作P[x,x2,..,xn]R区F81.10多元多项式
§1.10 多元多项式 的集合称为数域 P 上的 n 元多项式环，记作 1 2 [ , , , ]. P x x xn 4.n元多项式环 数域 P 上关于文字 x x x 1 2 , , , n 的全体 n 元多项式 加法 减法 乘法 2.n元多项式的运算 3.n元多项式的相等
5.n元多项式的字典排列法任取n元多项式f(x,)= E ak.x,...k.(1)kjk2...kn中的两个单项式ax'hx,h..knbx'x,h...x."若有某个1≤i≤n，使k -l = k, -l, =...= ki-1 -li-1=0, k, -l, > 0$1.10多元多项式R下
§1.10 多元多项式 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n k k kn k k k n k k k n f x x x a x x x = 中的两个单项式 1 2 1 2 , n k k k n a x x x 1 2 1 2 , n l l l n b x x x 任取n元多项式 5.n元多项式的字典排列法 若有某个 1 , i n 使 1 1 2 2 1 1 0, 0 i i i i k l k l k l k l − = − = = − = − − − （1）
（此时也称数组(ki,kz,,kn）先于(,l2,,ln)，记作(ki,k2,..,kn)>(l1,l2,...,ln).则在多项式（1）中，把单项式ax,x,2…x,写在bx"x,?x的前面.将n元多项式中各单项式按这种先后次序排列的方法称为字典排列法，当n1时，字典排列法即为降幂排列法按字典排列法写出的第一个系数不为零的单项式称为多项式的首项R$1.10多元多项式
§1.10 多元多项式 （此时也称数组 ( , , , ) k k k 1 2 n 先于 ( , , , ), l l l 1 2 n 记作 ) 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ). n n k k k l l l 则在多项式（1）中，把单项式 1 2 1 2 n 写在 k k k n ax x x 1 2 1 2 n 的前面． l l l n bx x x 将n元多项式中各单项式按 当n＝1时，字典排列法即为降幂排列法． 这种先后次序排列的方法称为字典排列法． 按字典排列法写出的第一个系数不为零的单项式 称为多项式的首项．
注意：多元多项式的首项未是最高次项。例如,f(x1,X2,x)=2xx,x +xx, +x3=x+xx,+2xxx,f的次数为5，首项为x3.R口下81.10多元多项式
§1.10 多元多项式 注意： 例如， 2 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 f x x x x x x x x x ( , , ) 2 = + + f 的次数为5， 3 2 2 2 1 1 2 1 2 3 = + + x x x x x x 2 , 3 1 首项为 x . 多元多项式的首项未是最高次项．
二、 有关性质定理14 当 f(xi,,x)±0, g(x,",x,)±0时积f(x,.,x)g(x,.,x)的首项等于f(x,,xn）的首项与g(x，,x）的首项的积.推论1若 f,(xj,,xn)0，i=1,2,.,m, 则积fif.fm的首项等于f,f,,,fm的首项的积.推论2若f(x,"",xn)±0，g(xi,,xn)0, 则f(x,".,x,)g(x,...,x,)+0.区区81.10多元多项式
§1.10 多元多项式 定理14 当 时, 1 1 ( , , ) 0, ( , , ) 0 n n f x x g x x 积 f x x g x x ( , , ) ( , , ) 1 1 n n 的首项等于 1 ( , , ) n f x x 的首项与 g x x ( , , ) 1 n 的首项的积． 推论1 若 f x x i m i n ( , , ) 0, 1,2, , , 1 = 则积 1 2 m f f f 的首项等于 f f f 1 2 , , , m 的首项的积． 二、有关性质 推论2 若 f x x g x x ( , , ) 0, ( , , ) 0, 1 1 n n 则 1 1 ( , , ) ( , , ) 0. n n f x x g x x
三、齐次多项式定义若多项式E akx,....f(x1,X2,"",xn)=okik2.n中每个单项式全是m次的，则称f(xj,X2,",x,)为m次齐次多项式K下81.10多元多项式
§1.10 多元多项式 若多项式 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n k k kn k k k n k k k n f x x x a x x x = 1 2 ( , , , ) n f x x x 为m次齐次多项式． 中每个单项式全是m次的，则称 三、齐次多项式 定义