第一章多项式S7多项式函数s1数域S8复、实系数多项式82一元多项式的因式分解S3整除的概念s9有理系数多项式84最大公因式10多元多项式S5因式分解s11对称多项式S6重因式
§4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式
一、一元多项式的定义1.定义 设x是一个符号(或称文字),n是一个非负整数,形式表达式a,x" +an-ix"-l +...+ax+a.其中a,aanEP,称为数域P上的一元多项式常用 f(x),g(x),h(x)等表示81.2一元多项式F区区
§1.2 一元多项式 1.定义 个非负整数,形式表达式 设 x 是一个符号(或称文字), n 是一 1 1 1 0 n n n n a x a x a x a − + + + + − 其中 a a a P 0 1 , , , n 称为数域P上的一元多项式. 常用 f x g x h x ( ), ( ), ( ) 等表示. 一、一元多项式的定义
注:多项式f(x)=a,x"+an-ix"-1 +...+ax+a中,1a,x称为次项,a,称为i次项系数②若a,±0,则称a,x"为f(x)的首项,a,为首项系数,n称为多项式f(x)的次数,记作(f(x))=n.③若a=a ==an=0,即f(x)=0,则称之为零多项式.零多项式不定义次数零多项式 f(x)=0区别:零次多项式 f(x)=a,a±0,a(f(x)=0.F81.2一元多项式
§1.2 一元多项式 系数,n 称为多项式 f x( ) 的次数,记作 ( ( )) . f x n= ③ 若 a a a 0 1 = = = = n 0 ,即 f x( ) 0 = ,则称之 为零多项式.零多项式不定义次数. 区别: 零次多项式 f x a a ( ) , 0 , = 多项式 中, 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − 称为i次项, 称为i次项系数. i i ① a x i a 注: ② 若 则称 为 f x( ) 的首项, 为首项 n n 0, a x n a n a 零多项式 f x( ) 0 = ( ( )) 0. f x =
2.多项式的相等若多项式f(x)与 g(x)的同次项系数全相等,则称 f(x)与 g(x)相等,记作f(x)=g(x).即, f(x)=a,x" +an--x"-I +...+ax+ao,g(x)=bmx" +bu-ixm-1 +..+b,x+bo,f(x)=g(x) m=n, a, =b,, i=0,1,2,.,n.81.2一元多项式下
§1.2 一元多项式 2.多项式的相等 若多项式 f x( ) 与 g x( ) 的同次项系数全相等,则 称 f x( ) 与 g x( ) 相等,记作 f x g x ( ) ( ). = 即, 1 1 1 0 ( ) , m m m n g x b x b x b x b − = + + + + − ( ) ( ) , , 0,1,2, , . i i f x g x m n a b i n = = = = 1 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a x a − = + + + + −
3.多项式的运算:加法(减法)、乘法(x) =a,x"+ an-+-+ +.+ax+ =-Zax*,i=0mg(x) = b.x" + bm-+x"-I +..+bix+ b = Eb,x*,j=0加法:若n≥m,在 g(x)中令b, = bn-1 = ...= bm+1 = 0f(x)+ g(x)=(a, +b,)x* 则i=0减法:f(x)-g(x)= E(a, -b,)xii=081.2一元多项式F
§1.2 一元多项式 3.多项式的运算:加法(减法)、乘法 1 1 1 0 0 ( ) ,i i n n n n n i f x a x a x a x a a x − − = = + + + + = 1 1 1 0 0 ( ) ,j j m m m m m j g x b x b x b x b b x − − = = + + + + = 加法: 若 n m , 在 g x( ) 中令 1 1 0 n n m b b b = = = = − + 则 0 ( ) ( ) ( ) . i i n i i f x g x a b x = + = + 0 ( ) ( ) ( ) i i n i i f x g x a b x = 减法: − = −
乘法:f(x)g(x)= a,bmxn+m +(a,bm-1 + an-1bm)xn+m-1 +...+(a,b, +a,b,)x+abo-ZZ (a,b,)xis=l i+j=s注:f(x)g(x)中s次项的系数为a,b, +as-ibi +...+abs-- +ab, = Z a,b,i+j=s81.2一元多项式F区
§1.2 一元多项式 1 0 1 0 0 ( ) o + + + a b a b x a b 1 ( ) n m i i j s i j s a b x + = + = = f x g x ( ) ( ) 中s 次项的系数为 1 1 1 1 0 . s o s s s i j i j s a b a b a b a b a b − − + = + + + + = 注: 乘法: f x g x ( ) ( ) = 1 1 1 ( ) n m n m n m n m n m a b x a b a b x + + − + + + − −
多项式运算性质1)f(x)g(x)为数域P上任意两个多项式,则f(x)±g(x),f(x)g(x)仍为数域P上的多项式2)Vf(x),g(x) e P[x]f(x)±g(x)± 0 a(f(x)± g(x)≤max(a(f(x),og(x)②若 f(x)±0,g(x)± 0, 则 f(x)g(x)±0, 且a(f(x)g(x)) = a(f(x) + a(g(x)81.2一元多项式F
§1.2 一元多项式 4.多项式运算性质 1) f x g x ( ) ( ) 为数域 P上任意两个多项式,则 f x g x f x g x ( ) ( ), ( ) ( ) 仍为数域 P上的多项式. 2) f x g x P x ( ), ( ) [ ] ① ( ( ) ( )) max( ( ( )), ( ))) f x g x f x g x ② 若 f x g x ( ) 0, ( ) 0, 则 f x g x ( ) ( ) 0, 且 = + ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) f x g x f x g x f x g x ( ) ( ) 0
f(x)g(x)的首项系数= f(x)的首项系数× g(x)的首项系数.3)运算律f(x)+ g(x) = g(x)+ f(x)(f(x)+ g(x)+h(x) = f(x)+(g(x)+ h(x)f(x)g(x) = g(x)f(x)(f(x)g(x)h(x) = f(x)(g(x)h(x)f(x)(g(x) + h(x) = f(x)g(x)+ f(x)h(x)f(x)g(x) = f(x)h(x), f(x) ± 0 = g(x) = h(x)81.2一元多项式F区区
§1.2 一元多项式 f x g x ( ) ( ) 的首项系数 = f x( ) 的首项系数× g x( ) 的首项系数. 3) 运算律 f x g x g x f x ( ) ( ) ( ) ( ) + = + ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x + + = + + f x g x g x f x ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ( ) ( )) ( ) ( )( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x = f x g x h x f x g x f x h x ( )( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + f x g x f x h x f x g x h x ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0 ( ) ( ) = =