第一章多项式S7多项式函数s1数域S8复、实系数多项式82一元多项式的因式分解S3整除的概念s9有理系数多项式84最大公因式10多元多项式S5因式分解s11对称多项式S6重因式
§4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式
812一元多项式一、一元多项式的定义二、多项式环F81.2一元多项式
§1.2 一元多项式 一、一元多项式的定义 二、多项式环
一、一元多项式的定义1．定义 设x是一个符号（或称文字），n是一个非负整数，形式表达式a,x" +an-ix"-l +...+ax+a.其中a,aanEP，称为数域P上的一元多项式常用 f(x),g(x),h(x)等表示81.2一元多项式F区区
§1.2 一元多项式 1．定义 个非负整数，形式表达式 设 x 是一个符号（或称文字）， n 是一 1 1 1 0 n n n n a x a x a x a − + + + + − 其中 a a a P 0 1 , , , n 称为数域P上的一元多项式． 常用 f x g x h x ( ), ( ), ( ) 等表示． 一、一元多项式的定义
注：多项式f(x)=a,x"+an-ix"-1 +...+ax+a中,1a,x称为次项，a，称为i次项系数②若a,±0,则称a,x"为f(x)的首项，a,为首项系数，n称为多项式f(x)的次数，记作(f(x))=n.③若a=a ==an=0，即f(x)=0，则称之为零多项式.零多项式不定义次数零多项式 f(x)=0区别：零次多项式 f(x)=a,a±0,a(f(x)=0.F81.2一元多项式
§1.2 一元多项式 系数，n 称为多项式 f x( ) 的次数，记作 ( ( )) . f x n= ③ 若 a a a 0 1 = = = = n 0 ，即 f x( ) 0 = ，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数． 区别： 零次多项式 f x a a ( ) , 0 , = 多项式 中， 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − 称为i次项， 称为i次项系数． i i ① a x i a 注： ② 若 则称 为 f x( ) 的首项， 为首项 n n 0, a x n a n a 零多项式 f x( ) 0 = ( ( )) 0. f x =
2．多项式的相等若多项式f(x)与 g(x)的同次项系数全相等，则称 f(x)与 g(x)相等，记作f(x)=g(x).即, f(x)=a,x" +an--x"-I +...+ax+ao,g(x)=bmx" +bu-ixm-1 +..+b,x+bo,f(x)=g(x) m=n, a, =b,, i=0,1,2,.,n.81.2一元多项式下
§1.2 一元多项式 2．多项式的相等 若多项式 f x( ) 与 g x( ) 的同次项系数全相等，则 称 f x( ) 与 g x( ) 相等，记作 f x g x ( ) ( ). = 即， 1 1 1 0 ( ) , m m m n g x b x b x b x b − = + + + + − ( ) ( ) , , 0,1,2, , . i i f x g x m n a b i n = = = = 1 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a x a − = + + + + −
3．多项式的运算：加法（减法）、乘法(x) =a,x"+ an-+-+ +.+ax+ =-Zax*,i=0mg(x) = b.x" + bm-+x"-I +..+bix+ b = Eb,x*,j=0加法：若n≥m,在 g(x)中令b, = bn-1 = ...= bm+1 = 0f(x)+ g(x)=(a, +b,)x* 则i=0减法：f(x)-g(x)= E(a, -b,)xii=081.2一元多项式F
§1.2 一元多项式 3．多项式的运算：加法（减法）、乘法 1 1 1 0 0 ( ) ,i i n n n n n i f x a x a x a x a a x − − = = + + + + = 1 1 1 0 0 ( ) ,j j m m m m m j g x b x b x b x b b x − − = = + + + + = 加法： 若 n m , 在 g x( ) 中令 1 1 0 n n m b b b = = = = − + 则 0 ( ) ( ) ( ) . i i n i i f x g x a b x = + = + 0 ( ) ( ) ( ) i i n i i f x g x a b x = 减法： − = −
乘法：f(x)g(x)= a,bmxn+m +(a,bm-1 + an-1bm)xn+m-1 +...+(a,b, +a,b,)x+abo-ZZ (a,b,)xis=l i+j=s注：f(x)g(x)中s次项的系数为a,b, +as-ibi +...+abs-- +ab, = Z a,b,i+j=s81.2一元多项式F区
§1.2 一元多项式 1 0 1 0 0 ( ) o + + + a b a b x a b 1 ( ) n m i i j s i j s a b x + = + = = f x g x ( ) ( ) 中s 次项的系数为 1 1 1 1 0 . s o s s s i j i j s a b a b a b a b a b − − + = + + + + = 注: 乘法： f x g x ( ) ( ) = 1 1 1 ( ) n m n m n m n m n m a b x a b a b x + + − + + + − −
多项式运算性质1)f(x)g(x)为数域P上任意两个多项式，则f(x)±g(x),f(x)g(x)仍为数域P上的多项式2)Vf(x),g(x) e P[x]f(x)±g(x)± 0 a(f(x)± g(x)≤max(a(f(x),og(x)②若 f(x)±0,g(x)± 0, 则 f(x)g(x)±0, 且a(f(x)g(x)) = a(f(x) + a(g(x)81.2一元多项式F
§1.2 一元多项式 4．多项式运算性质 1) f x g x ( ) ( ) 为数域 P上任意两个多项式，则 f x g x f x g x ( ) ( ), ( ) ( ) 仍为数域 P上的多项式． 2) f x g x P x ( ), ( ) [ ] ① ( ( ) ( )) max( ( ( )), ( ))) f x g x f x g x ② 若 f x g x ( ) 0, ( ) 0, 则 f x g x ( ) ( ) 0, 且 = + ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) f x g x f x g x f x g x ( ) ( ) 0
f(x)g(x)的首项系数= f(x)的首项系数× g(x)的首项系数.3)运算律f(x)+ g(x) = g(x)+ f(x)(f(x)+ g(x)+h(x) = f(x)+(g(x)+ h(x)f(x)g(x) = g(x)f(x)(f(x)g(x)h(x) = f(x)(g(x)h(x)f(x)(g(x) + h(x) = f(x)g(x)+ f(x)h(x)f(x)g(x) = f(x)h(x), f(x) ± 0 = g(x) = h(x)81.2一元多项式F区区
§1.2 一元多项式 f x g x ( ) ( ) 的首项系数 = f x( ) 的首项系数× g x( ) 的首项系数. 3) 运算律 f x g x g x f x ( ) ( ) ( ) ( ) + = + ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x + + = + + f x g x g x f x ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ( ) ( )) ( ) ( )( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x = f x g x h x f x g x f x h x ( )( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + f x g x f x h x f x g x h x ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0 ( ) ( ) = =
例1 设 f(x),g(x),h(x)e R(x)(1) 证明: 若 f(x)= xg(x)+ xh(x),则f(x)=g(x) = h(x) = 0(2)在复数域上(1)是否成立?81.2一元多项式F
§1.2 一元多项式 例1 设 f x g x h x R x ( ), ( ), ( ) ( ) (1) 证明: 若 2 2 2 f x xg x xh x ( ) ( ) ( ), = + 则 f x g x h x ( ) ( ) ( ) 0 = = = (2) 在复数域上(1)是否成立？