第一章多项式S7多项式函数<S1数域s8复、实系数多项式S2一元多项式的因式分解S3整除的概念89有理系数多项式S4最大公因式s10多元多项式S5因式分解s11对称多项式S6重因式
§4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式
重因式$1.6一、k重因式二、重因式的判别和求法
一、k 重因式 二、重因式的判别和求法
一、k重因式定义设p(x)为数域P的不可约多项式，f(x)EP[x],若p*(x)If(x), 但pk+l(x)+ f(x),则称p(x)为f(x)的k重因式若 k>1,则称 p(x)为 f(x)的重因式若 k=1,则称 p(x)为f(x)的单因式的因式)（若0，p(是冈31.6重因式
§1.6 重因式 一、k 重因式 设 p x( ) 为数域P的不可约多项式， f x x ( ) P[ ] , 则称 p x( ) 为 f x( ) 的 k 重因式. 若 k >1, 则称 为 的重因式. p x( ) f x( ) （若 k =0， p x( ) 不是 f x 的因式 ( ) ) 若 ( ) | ( ) ，但 k p x f x 1 ( ) | ( ) , k p x f x + 定义 若 k ＝1, 则称 为 的单因式. p x( ) f x( )
二、重因式的判别和求法1.若f(x)的标准分解式为：f(x) =cp'(x)p3(x) ... p*,(x)则 p,(x)为f(x)的 r,重因式． i=1,2,sr; =1 时，p,(x)为单因式;r;>1 时，p,(x)为重因式。R口下81.6重因式
§1.6 重因式 1. 若 f x( ) 的标准分解式为： 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) s r r r s f x cp x p x p x = 则 ( ) 为 的 ri 重因式 . i s = 1,2, i p x f x( ) 1 时， 为单因式 ; i r = ( ) i p x 1 时, 为重因式 . i r ( ) i p x 二、重因式的判别和求法
2.定理6若不可约多项式 p(x)是f(x) 的 k重因式(k≥1),则它是f(x)的微商f(x)的k-1重因式证：假设f(x)可分解为f(x)= p(x)g(x), 其中 p(x)+g(x).:: f'(x) = pk-l(x)(kg(x)p(x)+ p(x)g(x))= pk-I(x)If'(x).冈区81.6重因式
§1.6 重因式 2. 定理6 若不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的 k 重因式 ( 1 ), k 证: 假设 f x( ) 可分解为 ( ) ( ) ( ) , k f x p x g x = ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k f x p x kg x p x p x g x − = + 1 ( ) | ( ) . k p x f x − 其中 p x g x ( ) | ( ) . 则它是 的微商 f x( ) 的 k − 1 重因式. f x( )
令 h(x) = kg(x)p'(x)+ p(x)g'(x): p(x) +g(x)且 p(x)+p(x),:: p(x)+kg(x)p'(x), = p(x) +h(x)= p*(x)t f'(x):. p(x)是f(x)的 k-1重因式注意定理6的逆命题不成立，即p(x)为 f(x)的k-1重因式，但p(x)床必是f(x)的重因式.81.6重因式R区下
§1.6 重因式 令 h x kg x p x p x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , = + p x( ) 是 f x ( ) 的 k − 1 重因式 p x g x ( ) | ( ) 且 p x p x ( ) | ( ) , p x kg x p x ( ) | ( ) ( ) , p x h x ( ) | ( ) ( ) | ( ) k p x f x p x( ) 为 f x ( ) 的 k − 1 重因式，但 p x( ) 未必是 f x( ) 的 k 重因式. 注意 定理6的逆命题不成立，即
推论1若不可约多项式p(x)是f(x)的 k重因式(k≥1),则p(x)是 f(x),f(x),,f(k-I)(x)的因式，但不是r(k)(x)的因式.推论2不可约多项式p(x)是f(x)的重因式台 p(x)是f(x)与 f'(x)的公因式81.6重因式区区下
§1.6 重因式 推论1 若不可约多项式 是 的 重因式 则 是 的因式，但不是 的因式. p x( ) ( )( ) k f x f x( ) ( 1) , k p x( ) ( 1) ( ), ( ), , ( ) k f x f x f x − k 推论2 不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的重因式 是 f x( ) 与 的公因式. p x( ) f x ( )
推论3多项式 f(x)没有重因式台(f(x),f(x))=1.推论4f(x)eP[xl ,若 (f(x), f'(x)=p"(x)...p,(x)其中 p,(x)为不可约多项式，则 p;(x)为 f(x)的 ri+1 重因式81.6重因式下区区
§1.6 重因式 推论3 推论4 多项式 f x( ) 没有重因式 = ( ( ), ( )) 1 . f x f x ，若 其中 为不可约多项式， 则 为 的 重因式. f x( ) f x x ( ) P[ ] 1 1 ( ( ), ( )) ( ) ( ) , s r r s f x f x p x p x = ( ) i p x ( ) i p x i 1 r +
说明根据推论3、4可用辗转相除法，求出(f(x),f'(x))来判别f(x)是否有重因式．若有重因式，还可由(f(x),f'(x)的结果写出来.例1.判别多项式f(x)有无重因式f(x) = x5 -10x3 - 20x2 -15x - 4区下81.6重因式
§1.6 重因式 根据推论3、4可用辗转相除法，求出 ( ( ), ( )) f x f x 说明 来判别 f x( ) 是否有重因式．若有重因式 ，还可由 ( ( ), ( )) f x f x 的结果写出来. 5 3 2 f x x x x x ( ) 10 20 15 4 = − − − − 例1. 判别多项式 f x( ) 有无重因式
推论5不可约多项式p(x)为 f(x)的k重因式> p(x)为(f(x),f'(x)的 k-1重因式注:f(x)J(x)与(f(x),F(x)有完全相同的不可约因式,f(x)且的因式皆为单因式(f(x), f'(x)区区下81.6重因式
§1.6 重因式 推论5 注: 不可约多项式 为 的 重因式 为 的 重因式. f x( ) p x( ) p x( ) k ( ( ), ( )) f x f x k − 1 f x( ) 与 有完全相同的不可约因式， ( ) ( ( ), ( )) f x f x f x ( ) ( ( ), ( )) f x 且 f x f x 的因式皆为单因式