§3.6线性方程组 解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 二、一般线性方程组解的结构
一、齐次线性方程组解的结构 二、一般线性方程组解的结构
齐次线性方程组解的结构aix +ai2xX,+...+ainx, = 0(1)a2ix, + a2x, + .. +a2nxn = 0asiXi +as2x2+...+asnx,=0解的性质性质1（1）的两个解的和还是（1）的解性质2（1）的一个解的倍数还是（1）的解性质3（1）的解的任一线性组合还是（1）的解S3.6线性方程组解的结构
§3.6 线性方程组解的结构 一 、 齐次线性方程组解的结构 1 解的性质 性质1 （1）的两个解的和还是（1）的解. 性质2 （1）的一个解的倍数还是（1）的解. 性质3 （1）的解的任一线性组合还是（1）的解. 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = （ 1 ）
2解空间定义设W为齐次线性方程组（1）的全体解向量所成集合，则1)Vn neW, n+nzeW2)VkeP,VneW, kneW即W关于解的线性运算封闭，所以W是一个向量空间，称之为齐次线性方程组（1）的解空间。83.6线性方程组解的结构P
§3.6 线性方程组解的结构 2 解空间 所成集合，则 1 2 1 2 1) , + 、 W W 2) , , k P W k W 空间，称之为齐次线性方程组（1）的解空间． 设 W 为齐次线性方程组（1）的全体解向量 即 W 关于解的线性运算封闭，所以 W 是一个向量 定义
3基础解系定义齐次线性方程组(1)一组解向量n1,n2,, nr,若满足i)ni,n2,，nr线性无关；ii）（1)的任一解向量可由n,n2，nr线性表出则称ni,nz,,n,为(1)的一个基础解系.S3.6线性方程组解的结构
§3.6 线性方程组解的结构 齐次线性方程组(1)一组解向量 1 2 , , , r ， 若满足 ii）(1) 的任一解向量可由 1 2 线性表出. , , , r i） 1 2 , , , r 线性无关； 则称 1 2 , , , r 为(1)的一个基础解系． 3 基础解系 定义
4基础解系的存在性定理7在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于 n-r，其中n是未知量的个数,r=R(A)$3.6线性方程组解的结构
§3.6 线性方程组解的结构 4 基础解系的存在性 定理7 在齐次线性方程组有非零解的情况下， 它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数 等于 n r − ，其中n是未知量的个数， r R A = ( )
证： 若 R(A)=r<n，不妨设·airai1 a12'a21a22·aor±0,ara2arr则（1）可改写成aux, +ai2x2 +...+airx, =-ai,r+1xr+1 --ainxna2na21X +a22X2 +.. +a2rx, = -a2,r+1Xr+1一(2)ariX, +ar2x, +...+amx, =-ar,r+1xr+1 -....-arnXn83.6线性方程组解的结构K
§3.6 线性方程组解的结构 证： 则（1）可改写成 若 R A r n ( ) = ， 11 21 1 0, r a a a a a a a a a 12 1r 22 2r r2 rr …… …… ……………… …… 不妨设 11 1 12 2 1 1, 1 1 1 21 1 22 2 2 2, 1 1 2 1 1 2 2 , 1 1 r r r r n n r r r r n n r r rr r r r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + + + + + + + = − − − + + + = − − − + + + = − − − （2）
用 n-r组数(1,0,.,0),(0,1,...,0),...,(0,·..,0,1)代入自由未知量(xr+1,xr+1...x），就得到（2）的n-r解，也即（1）的n-r个解n = (C11,C12,..*,Cir,1,0,...,0)N2 =(C21,C22,...,C2r,0,1,...,0)nn-r = (cn-r,1,Cn-r,2..*,Cn-r,r,0,O,..,l)且n1,n2,,n-r满足①n,n2,…,nn-r线性无关.83.6线性方程组解的结构A
§3.6 线性方程组解的结构 代入自由未知量 ( , , , ) x x x r r n + + 1 1 ， 也即（1）的 n r − 个解 1 11 12 1 2 21 22 2 - - ,1 - ,2 - , ( , , , ,1,0, ,0) ( , , , ,0,1, ,0) ( , , , ,0,0, ,1) r r n r n r n r n r r c c c c c c c c c = = = 用 n r − 组数 (1,0, ,0),(0,1, ,0), ,(0, ,0,1) 就得到（2）的 n r − 解， 且 1 2 , , , n-r 满足： ① 1 2 n-r , , , 线性无关
事实上，若kn+knz+...+knrnn-r=0即k,ni+k,n2 +...+kn-rnn-r=(*,*,.,*,k,,k2,...,kn-r) =(0,0,...,0).. k, = k, =...= kn-r = 0,故n，n2,nn-r线性无关②任取（1）的一个解n=(c,C2,,cn),n可由n,N2""",nn-r线性表出。83.6线性方程组解的结构区区
§3.6 线性方程组解的结构 事实上，若 1 1 2 2 - - 0, n r n r k k k + + + = 1 2 ( , , , , , , , ) n r k k k = − = (0,0, ,0) 1 2 0 n r k k k = = = = − ， ② 任取（1）的一个解 1 2 ( , , , ), n = c c c 即 1 1 2 2 n r n r k k k + + + …… − − 故 1 2 , , , n r − 线性无关． 可由 1 2 , ， , n r − 线性表出．
事实上，由n，，nn-r是（1）的解，得Cr+ini+.………·+cnnn-r也为（1）的解，即Cr+ini +...+cnnn-r =(*,*,...,*,Cr+,.,cn)为（1）的解．它与n的最后n-r个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解故n=Crini+.....+c,nn-r .由①②知，n,n2,,nn-r为（1）的一个基础解系$3.6线性方程组解的结构区区
§3.6 线性方程组解的结构 事实上，由 1 2 , , , n r − 是（1）的解，得 c c r n n r + − 1 1 + + …… 也为（1）的解，即 1 1 1 ( , , , , , , ) r n n r r n c c c c + − + + + = 为（1）的解. 它与 的最后 n r − 个分量相同， 即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解． 故 = + + c c r n n r + − 1 1 …… . 由①②知， 1 2 , , , n-r 为（1）的一个基础解系．
推论1 任一线性无关组的与（1）的某一基础解系等价的向量组都是（1）的基础解系。证：设n,n2,,nt为（1）的一个基础解系α,αz,…,α,线性无关，且与n,n2,,n等价,则 s=t，且α,可由ni,n2,,nt线性表出，所以α,也为（1）的解向量(i=1,2,,t)任取（1）的一个解向量n，则n可由n，n2，nt线性表出，从而n可由α,α，α线性表出：α,αz…,α,也是（1）的基础解系.83.6线性方程组解的结构区区
§3.6 线性方程组解的结构 推论1 任一线性无关组的与（1）的某一基础解系 等价的向量组都是（1）的基础解系． 设 1 2 , , , t 为（1）的一个基础解系， 1 2 , , , s 线性无关，且与 1 2 , , , t 等价， 且 i 可由 1 2 , , , t 线性表出， 所以 i 也为（1）的解向量 证： 则 s t = , ( 1,2, , ). i t = 任取（1）的一个解向量 ，则 可由 1 2 ， ， ， t 线性表出， 从而 可由 1 2 , , , t 线性表出. 1 2 , , , t 也是（1）的基础解系