西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第五章 二次型 5.1 二次型的矩阵表示

第五章二次型s5.1二次型的矩阵表示标准形$5.2唯一性$5.3$5.4正定二次型章小结与习题

第五章 二次型 §5.1 二次型的矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型 章小结与习题

s5.1二次型的矩阵表示一、n元二次型非退化线性替换三、矩阵的合同四、小结85.1二次型的矩阵表示

§5.1 二次型的矩阵表示 一、n元二次型 二、非退化线性替换 三、矩阵的合同 四、小结 §5.1 二次型的矩阵表示

问题的引入：解析几何中中心与坐标原点重合的有心二次曲线f = ax? + 2bxy + cy?选择适当角度(x = x'cos- y'sinθ，逆时针旋转ly= x'cose+y'sine坐标轴f = a'x' +c'y"2(标准方程)85.1二次型的矩阵表示区区

§5.1 二次型的矩阵表示 解析几何中 选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴 (标准方程) 中心与坐标原点重合的有心二次曲线 问题的引入: 2 2 f ax bxy cy = + + 2  cos sin cos sin x x y y x y     = −   = +   2 2 f a x c y = +    

代数观点下二次齐次多项式f(xi,X2,",xn)X,=Cinyi+CizJ+..+Ciny'n作适当的X,=Cuyi+Ci2y2+...+Ciny'n非退化线性替换Xn=Cnyi+Cny2+...+CnnJ'n只含平方项的多项式(标准形)85.1二次型的矩阵表示V

§5.1 二次型的矩阵表示 代数观点下 作适当的 非退化线 性替换 只含平方项的多项式 二次齐次多项式 1 11 1 12 2 1 2 11 1 12 2 1 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y  = + + +   = + + +     = + + + (标准形) 1 2 ( , , , ) n f x x x

一、n元二次型aj, E P,i,j=1,2,...,n,1、定义：设P为数域，n个文字Xi,X2,",的二次齐次多项式f(x,x2,"*,xn)=ax +2a2Xjx, +...+2ainxjxn+a .2..Dx?+...+2a3nxgxn+a333+·+amt?称为数域P上的一个n元二次型85.1二次型的矩阵表示A

§5.1 二次型的矩阵表示 一、n元二次型 1、定义：设P为数域， 称为数域P上的一个n元二次型． ① 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) 2 2 n n n f x x x a x a x x a x x = + + + n个文字 1 2 , , , 的二次齐次多项式 n x x x , , 1,2, , , ij a P i j n  = 2 22 2 2 2 2 n n + + + a x a x x 2 33 3 3 3 2 n n + + + a x a x x + 2 nn n + a x

注意1)为了计算和讨论的方便,式①中x,(i<i)的系数写成2aj2)式①也可写成f(xx2x)-Zanx+ +2 agxxj1<i<j≤ni-185.1二次型的矩阵表示A

§5.1 二次型的矩阵表示 注意 2) 式① 也可写成 2 1 2 1 1 ( , , , ) 2 n n ii i ij i j i i j n f x x x a x a x x =    = +   1) 为了计算和讨论的方便,式①中 x i j ij( )  的系数 写成 2 . ij a

2、二次型的矩阵表示约定①中aj=aji，j，由xx,=xxi，有Df(xi,X2,",xn) =ax' +aXx, +.....+ainjxn+a2ixx+a22x+.+aanexn+aniXnX+an2XnX+...+annx,2ajxxj2i=1 ji=185.1二次型的矩阵表示

§5.1 二次型的矩阵表示 1） 约定①中aij =aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有 ② 2、二次型的矩阵表示 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x x a x a x x a x x = + + + 2 21 2 1 22 2 2 2 n n + + + + a x x a x a x x + 2 n n n n nn n 1 1 2 2 + + + + a x x a x x a x 1 1 n n i j ij i j a x x = = =  

auia12a(Ae p"x")a21a22..2nA=..ani an2 .. ann)则矩阵A称为二次型f(xi,X,,x,）的矩阵85.1二次型的矩阵表示

§5.1 二次型的矩阵表示 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n n n nn a a a a a a A a a a     =       令 ( ) n n A p   则矩阵A称为二次型 的矩阵. 1 2 ( , , , ) n f x x x

Xi由2) 令X=Xnailainra12a22anna21X'AX = (Xi,X2...Xn)...xnanannan2"WW"Waij,akj=(Xi,X2....Xn)amjt,85.1二次型的矩阵表示A

§5.1 二次型的矩阵表示 1 2 , n x x X x     =       2) 令 由 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ... ... ( , ,..., ) ... n n n n n nn n a a a x a a a x X AX x x x a a a x        =          1 1 2 1 2 1 1 ( , ,..., ) n j j j n j j n j n nj j j a x a x x x x a x = = =         =               

=xax,+x,2a2x,+.+a..--(xag)=2ajxixji-l i=1f(X1,X2....x,)= X'AX于是有85.1二次型的矩阵表示

§5.1 二次型的矩阵表示 于是有 1 2 ( , ,..., ) . n f x x x X AX =  1 1 2 2 1 1 1 n n n j j j j n nj j j j j x a x x a x x a x = = = = + + +    1 1 ( ) n n i ij j i j x a x = = =   1 1 n n i j ij i j a x x = = =  