第七章线性变换s6线性变换的值域与核S1线性变换的定义S2线性变换的运算S7不变子空间S3线性变换的矩阵S8若当标准形简介S4特征值与特征向量S9最小多项式85对角矩阵小结与习题
§2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 §7不变子空间 小结与习题 第七章 线性变换 §5 对角矩阵
s 7.3线性变换的矩阵线性变换与基线性变换与矩阵二三、相似矩阵7.3线性变换的矩阵A
§7.3 线性变换的矩阵 一、线性变换与基 二、线性变换与矩阵 §7.3 线性变换的矩阵 三、相似矩阵
线性变换与基1.设8,82，,8n是线性空间V的一组基，α为V的线性变换.则对任意V存在唯一的一组数X,X2,,x, e P, 使 5=Xje+Xe, +.+x,en从而, 0(5)= x,o(s)+x,0(8,) +... + x,o(8n)由此知，()由α(1),0(82),,α(8n)完全确定所以要求V中任一向量在α下的象，只需求出V的组基在。下的象即可。67.3线性变换的矩阵AP
§7.3 线性变换的矩阵 一、 线性变换与基 的线性变换. 则对任意 V 存在唯一的一组数 1．设 1 2 , , , n 是线性空间V的一组基， 为V x x x P 1 2 , , , , n 使 1 1 2 2 n n = + + + x x x 从而， 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). n n = + + + x x x 由此知， ( ) 由 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 完全确定. 一组基在 下的象即可. 所以要求V中任一向量在 下的象，只需求出V的
2．设&,62,,8,是线性空间V的一组基，，T为V的线性变换，若 (s)=t(c,)，i=1,2,,n.则 =t.证: 对V5eV, 5=Xe+xe+..+x,eno(5)=x,o(8)+ x,0(c2)+...+x,o(cn)t(5)=xit(sl)+x,t(c2)+...+xnt(en)由已知，即得 ()=()。 ： =t.由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定7.3线性变换的矩阵A
§7.3 线性变换的矩阵 2．设 1 2 , , , n 是线性空间V的一组基， , 为 V的线性变换，若 ( ) ( ), 1,2, , . i i = =i n 则 = . ( )＝x x x 1 1 2 2 ( ) + + + ( ) n n ( ) ( )＝x x x 1 1 2 2 ( ) + + + ( ) n n ( ) 由已知，即得 ( )＝ ( ). = . 由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定. 证：对 1 1 2 2 , V x x xn n = + + +
3．设81,62，,8n是线性空间V的一组基，对V中任意n个向量α，α2，,αn，都存在线性变换使o(8,)=α, i=1,2,...,n证：V5eV,设=Xe+X2+..+xen定义 :V→V, o(s)=xα +x,α, +..+x,αn易知为V的一个变换，下证它是线性的，任取 β, eV,设 β-bei, =c,6i=1i187.3线性变换的矩阵
§7.3 线性变换的矩阵 ( ) , 1,2, , i i = =i n 证： 1 1 2 2 , V x x xn n = + + + 设 定义 : , V V → ( ) 1 1 2 2 n n ＝x x x + + + ， 1 2 , , , , 任意n个向量 n 都存在线性变换 使 3．设 1 2 , , , n 是线性空间V的一组基，对V中 易知 为V的一个变换，下证它是线性的. 1 1 , n n i i i i i i V b c = = 任取 ， = , = 设
则 β+=(b,+c) 8， kβ=kb,)6i一于是(β+r)=(b,+c) α;=b;α;+c,α;--=α(β)+o(r)(kβ)=Z(kb,)α, =kb,α, = ko(β)-1：α为V的线性变换，又 6, =08, +... +08-1 +8; +08i+1 +...+08ni=1,2,.,n:. (8)=α,,87.3线性变换的矩阵
§7.3 线性变换的矩阵 则 1 1 , ) n n i i i i i i i b c k b = = ＋ ＝ （ ＋ ） = (k 于是 ( ) 1 1 1 n n n i i i i i i i i i i b c b c = = = ＋ = = + （ ＋ ） = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ) n n i i i i i i k kb k b k = = = = = ( 为V的线性变换. 又 1 1 1 0 0 0 0 i i i i n = + + + + + + − + ( ) , 1,2, , i i = = i n
由2与3即得定理1设，82，8为线性空间V的一组基，对V中任意n个向量α,αz,,αn，存在唯一的线性变换，使α(s;)=α,"i=1,2,..,n.87.3线性变换的矩阵V
§7.3 线性变换的矩阵 由2与3即得 定理1 设 1 2 , , , n 为线性空间V的一组基， 对V中任意n个向量 1 2 , , , , n 存在唯一的线性 ( ) 1,2, , . i i = = ， i n 变换 , 使
线性变换与矩阵二1.线性变换的矩阵设8,6,8,为数域P上线性空间V的一组基，0为V的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设0(81)= α116) +α2162 +... +αnen0(82) =α121 +α2282 +... +αn28,O(en)=αinGi +a2ne +... +αnnen用矩阵表示即为0(81,82,"*,8n)=(081,082,"*,08n) =(c1,62,"*,8n) A87.3线性变换的矩阵A2
§7.3 线性变换的矩阵 设 1 2 , , , n 为数域P上线性空间V的一组基， 为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设 用矩阵表示即为 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nn n = + + + = + + + = + + + 1 2 二、 线性变换与矩阵 1．线性变换的矩阵 ( 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , n n n ) = = ( ) ( ) A
αuα12din其中α21α22d2nA=an an2 ... αnn)矩阵A称为线性变换g在基81.82，下的矩阵注:①A的第例是(c)在基1,82,,8n下的坐标，它是唯一的。故在取定一组基下的矩阵是唯一的②单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵：数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵67.3线性变换的矩阵区区
§7.3 线性变换的矩阵 其中 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n n n nn A = ② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； ① A的第i列是 ( )i 在基 1 2 , , , n 下的坐标， 矩阵A称为线性变换 在基 1 2 下的矩阵. , , , n 注： 它是唯一的. 故 在取定一组基下的矩阵是唯一的. 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；
例1.设线性空间P3的线性变换为o(xi,x2,x) =(xi,x2,xi +x2)求0在标准基81,8283下的矩阵解: ： α(s)=(1,0,0)=(1,0,1)(ε2) = (0,1,0) = (0,1,1)(83) = α(0,0,1) = (0, 0,0)01:.. 0(81,62,63)=(81,62,63)11067.3线性变换的矩阵区区
§7.3 线性变换的矩阵 例1. 设线性空间 P 3 的线性变换 为 1 2 3 1 2 1 2 ( , , ) ( , , ) x x x x x x x = + 求 在标准基 1 2 3 下的矩阵. , , 解： 3 ( ) (0,0,1) (0,0,0) = = 1 ( ) (1,0,0) (1,0,1) = = 2 ( ) (0,1,0) (0,1,1) = = 1 2 3 1 2 3 1 0 0 ( , , ) ( , , ) 0 1 0 1 1 0 =