第九章欧氏空间S6对称矩阵的标准形S1定义与基本性质S2标准正交基s7向量到子空间的距离一最小二乘法83同构S8酉空间介绍S4正交变换小结与习题S5子空间
§2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 §6 对称矩阵的标准形 §8酉空间介绍 §7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 小结与习题 第九章 欧氏空间 §5 子空间
S 9.7向量到子空间的距离一、向量到子空间的距离最小二乘法二、69.7向量到子空间的距离
§9.7 向量到子空间的距离 一、向量到子空间的距离 §9.7 向量到子空间的距离 二、最小二乘法
一、向量到子空间的距离1.向量间的距离定义长度α-β称为向量α和β的距离，记为 d(α,β).基本性质(i) d(α,β)=d(β,α)(ii）d(α,β)≥0,并且仅当α=β的等号才成立；(i)(三角形不等式)d(α,β)≤d(α,r)+d(,β),69.7向量到子空间的距离K
§9.7 向量到子空间的距离 1. 向量间的距离 长度 − 称为向量 和 的距离， 基本性质 （i） d d ( , , ) = ( ) （ii） d ( , 0, ) 并且仅当 = 的等号才成立； （iii）(三角形不等式) d d d ( , , , . ) + ( ) ( ) 一、向量到子空间的距离 定义 记为 d ( , .)
2.向量到子空间的距离(1）设α为一固定向量，如果 α与子空间 W中每个向量垂直，称α垂直于子空间W，记作αlw.注:如果W = L(αi,α2,"",α),则αlWαlα,, i=l,2,.,k.69.7向量到子空间的距离V
§9.7 向量到子空间的距离 2.向量到子空间的距离 (1) 设 为一固定向量 ，如果 与子空间 W 中 每个向量垂直， 称 垂直于子空间 W , 记作 ⊥ W . 如果 W L = ( , , , ), 1 2 k 则 , 1,2, , . ⊥ ⊥ = W i k i 注:
(2）向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短如图示意，对给定β，设是W中的满足β-W的向量，则对W有[β-| ≤[β-].By-8S9.7向量到子空间的距离A
§9.7 向量到子空间的距离 (2) 向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短. − − − 如图示意，对给定 ，设 是 W 中的满足 − ⊥ W 的向量，则 对 W 有 − −
证明： β-=(β-)+(-),因W是子空间， eW,eW,则 -W,故β--.由勾股定理[=,所以 Iβ-≤[β-.69.7向量到子空间的距离
§9.7 向量到子空间的距离 − = − + − ( ) ( ), 因 W 是子空间， W W , , 则 − W , 由勾股定理 2 2 2 − + − = − , 证明： 故 − ⊥ − . 所以 − −
二、最小二乘法问题提出：实系数线性方程组AX =b,A=(a,)e Rxs, b=[b,b2,..,b,(1)可能无解，即任意X,X2，,x,都可能使E(aix+ + anx, +..+ an, -b,)*(2)i-1不等于零.69.7向量到子空间的距离K
§9.7 向量到子空间的距离 二、最小二乘法 问题提出: 实系数线性方程组 ( ) 1 2 , , , , , n s AX b A a R b b b b ij n = = = （1） 即任意 x x x 1 2 , , , n 都可能使 ( ) 2 1 1 2 2 1 n i i in n i i a x a x a x b = + + + − （2） 不等于零． 可能无解
设法找实数组x,x,x°使（2）最小，这样的x,x…,x°为方程组（1）的最小二乘解此问题叫最小二乘法问题最小二乘法的表示设Y=aZa,= AX.(3)S9.7向量到子空间的距离区区
§9.7 向量到子空间的距离 设法找实数组 使（2）最小, 2 0 0 0 1 , , , n x x x 这样的 2 为方程组（1）的最小二乘解， 0 0 0 1 , , , n x x x 此问题叫最小二乘法问题. 最小二乘法的表示: 设 1 2 1 1 1 , , , , . n n n j j j j nj j j j j Y a x a x a x AX = = = = = （3）
用距离的概念，（2）就是Y-B.由（3），设A=[α,α2,,α,，则Y = xa, +xa, +...+x,a,要找X使（2）最小，等价于找子空间L(αj,α2,"",α,)中向量Y使B到它的距离（Y-B)比到L(α,α2,",α)中其它向量的距离都短.69.7向量到子空间的距离
§9.7 向量到子空间的距离 用距离的概念，（2）就是 2 Y B− . 1 1 2 2 , Y x x x = + + + s s 由（3）, 设 A = 1 2 , , , , s 则 要找 X 使（2）最小，等价于找子空间 1 2 ( , , , ) L s 中向量 Y 使 B 到它的距离 ( ) Y B− 比到 1 2 ( , , , ) L s 中其它向量的距离都短
设 C=B-Y=B-AX,为此必 CL(α,α2,"",α,)这等价于(4)(C,α,)= (C,α2) =... =(C,α,) = 0,即 α'C=0,α,C= 0,..,α'C= 0,这样（4）等价于A(B-AX)=0 或 A'AX =A'B(5)这就是最小二乘解所满足的代数方程69.7向量到子空间的距离区区
§9.7 向量到子空间的距离 设 C B Y B AX = − = − , 这等价于 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0, C C C = = = = s （4） 即 1 2 0, 0, , 0, C C Cs = = = 这样（4）等价于 （5） 1 2 ( , , , ) 为此必 C L ⊥ s A B AX ( − =) 0 或 A AX A B = 这就是最小二乘解所满足的代数方程