西安毛子科技大学数学与统计学院Schoolofmathematies and statistiesXIDIAN UNIVERSITY高等数学极限存在准则两个重要极限
极限存在准则 两个重要极限
西要毛子科技大学极限存在准则，两个重要极限XIDIANUNIVERSITY、准则I及重要极限1.准则I如果数列(x,(y/及(zn)满足条件：yn ≤x, ≤zn (n>no,neN );(1)lim yn =limzn, = a,(2)n->00n->olimx, = a.则n-00称这个准则为夹逼准则
极限存在准则，两个重要极限 一、 准则Ⅰ及重要极限 1. 准则Ⅰ 如果数列 x y n n , 及 z n 满足条件： (1) 0 0 ( , N ); n n n lim lim , n n n n y z a → → （2） = = 称这个准则为夹逼准则 lim . n n x a → 则 = n n n y x z
西安毛子科技大学极限存在准则，两个重要极限XIDIAN UNIVERSITS(1)yn≤xn≤zn，(2) limy,=limz,=α证由条件（2）ε>0，正整数N，N当n>N,时,ly,-akiα-N,时,n-aa-N时，有a-<yn≤,≤z<a+→x,-ak,则lim=a条件（1)
极限存在准则，两个重要极限 证 由条件（2） , n n n （1） y x z lim lim n n n n y z a → → （2） = = 0, n 当 y a − n N 1 时， n − + a y a n 当 z a − n N 2 时， n − + a z a 取 N n N N = max , , 0 1 2 a a − y z n n + ，当 n N 时， , n x a − 则 lim n n x a → = 条件（1） n x 1 N2 正整数 N , 有
西要毛子科技大学极限存在准则，两个重要极限XIDIANUNIVERSITY2n计算极限lim引例+1+2n?+n12n解今Xn2+1n? +2n?+n2211nn≤xnn2+nn?+nn?+nn? +1n2 +1n2 +1n(n+1)n(n+l)适当放、缩1不等式两边极限相等X2(n2 +n)2(n +1)n(n+1)n(n+1)11因为 limli1由夹逼准则，得lim x,2n-0 2(n? + 1)n- 2(n? + n)2
极限存在准则，两个重要极限 不等式两边极限相等 1 lim . → 2 n = n 由夹逼准则,得 x 2 ( 1) lim 2( ) 1 → 2 + = n + n n n n 2 ( 1) lim 2( 1) n n n → n + = + 因为 ， 适当放、缩 引例 2 2 2 1 2 lim . n 1 2 n → n n n n + + + + + + 计算极限 令 2 2 2 1 2 1 2 = + + + + + + n n x n n n n 2 2 2 1 2 1 1 1 n n n n + + + + + + n x 2 2 2 1 2 n n n n n n n + + + + + + 2 ( 1) 2( ) + + n n n n 2 ( 1) 2( 1) + + n n n n x 解
西安毛子科技大学极限存在准则，两个重要极限XIDIAN UNIVERSITY准则I’ 如果函数f(x),g(x)及h(x)满足条件：(1) 当 VxeU(xo,8) 时,g(x)<≤ f(x)≤h(x);(2) lim g(x) =lim h(x)= A,A那么 lim f(x)=A注准则I对于x→等其他情形也成立
极限存在准则，两个重要极限 准则 0 0 lim ( ) lim ( ) , x x x x g x h x A → → （2） = = 注 I 准则 I 对于 x → 等其他情形也成立. 那么 0 lim ( ) x x f x A → = g x f x h x ( ) ( ) ( ); 0 （1）当 x U x( , ) 时， 如果函数 f x g x ( ), ( ) 及 h x( ) 满足条件：
西安毛子科技大学极限存在准则，两个重要极限XIDIANUNIVERSITsinx12.重要极限limx->0xy证设圆心角ZAOB=x(O<x2tanxsinxxAOAB面积<扇形OAB面积<△OAD面积oC+A1x所以sinx<x <tanx(sin x± 0)sin xcos xsinx从而<1: 若x取负值，不等式仍然成立cosxx
极限存在准则，两个重要极限 证 2.重要极限 0 sin lim 1 x x → x = 设圆心角 AOB o C x y OAB 面积 扇形 OAB 面积 OAD 面积 1 1 1 sin tan 2 2 2 所以 x x x sin cos 1; x x x 从而 1 1 sin cos x x x (sin 0) x 1 A x 1 (0 ) 2 x x = 若 x 取负值，不等式仍然成立. sin tan x x x sin x tan x
西安毛子科技大学极限存在准则，两个重要极限XIDIANUNIVERSITYsinx所以当0x时0x
极限存在准则，两个重要极限 由夹逼准则，即得 sin cos 1 x x x 0 sin lim 1 x x → x = 又 0 limcos 1, x x → = 常用不等式 sin tan x x x π (0 ) 2 x 所以当 0 | | 时 2 x
西安毛子科技大学极限存在准则，两个重要极限XIDIANUNIVERSITS3.应用举例例1计算下列极限极限运算法则sinx1一sinxtan x1)limlimlim1lim-x→0x->0x->0x-→>0xxcosxxcos x2sin2xxsin11-cos x212lim= lim2)=limR2x-→0x-→0x→0 2x2重要极限
极限存在准则，两个重要极限 3. 应用举例 例1 计算下列极限 1） =1. 2） 2 0 1 cos lim x x → x − 2 2 0 2sin 2 lim x x → x = 1 . 2 = 2 0 2 2 sin 1 limx 2 x → x = 0 tan lim x x → x 0 sin 1 lim cos x x → x x = 0 0 sin 1 lim lim cos x x x → → x x = 重要极限 极限运算法则
西安毛子科技大学极限存在准则，两个重要极限XIDIANUNIVERSITYarcsin x3)limx-→0x解 (换元法）令 t=arcsin x，则x= sint，所以tarcsin xlimlim-1.x→0xt-0 sint
极限存在准则，两个重要极限 3） 0 arcsin lim x x → x 解 令 t x = arcsin , 则 x t = sin , 所以 0 arcsin lim x x → x 0 lim t sin t → t = =1. （换元法）
西安毛子科技大学极限存在准则，两个重要极限XIDIANUNIVERSITY思考题sinxsinx2O=limlimlimsinxX-00X-00x+-00x1sin112Xlim x sinlim xsin lim=1.二=一X>00xxX-00X->00x10lim x sin02x->0x
极限存在准则，两个重要极限 sin lim 1 x x → x = ? 0 1 lim sin 0 x x → x = ? 1 lim sin x x → x = ? × sin lim x x → x = √ 1 lim sin → = x x x sin li 1 1 mx→ x x 1 lim sin x x → x = 0. 思考题 =1.