西安毛子科技大学习题课导数与微分导数和微分的概念及应用导数和微分的求法
1 习题课 一、 导数和微分的概念及应用 二、 导数和微分的求法 导数与微分
三西安毛子律枝大学导数和微分的概念及应用f(x+△x)-f(x)·导数： (αx)= limdyAx△.x->0y=f(x)yf(x)-f(x)= limX→Xox-XoO右导数 f'(α）左导数 '(x)x0Xo·微分: df(x)= f(x)dxXo + Ax可微?关系：可导：L近似计算·应用：2
2 一、 导数和微分的概念及应用 • 导数 : 右导数 左导数 • 微分 : • 关系 : 可导 可微 • 应用 : x + x 0 o x y = f ( x ) 0 x y dy y 近似计算
西安毛子科技大学相关例题：（1）利用导数定义解决的问题1）推出基本的导数公式及求导法则2)求分段函数在分界点处的导数，及某些特殊函数在特殊点处的导数3)由导数定义证明一些命题(2）用导数定义求极限(3）微分在近似计算与误差估计中的应用3
3 • 相关例题： (1) 利用导数定义解决的问题 (3) 微分在近似计算与误差估计中的应用 (2) 用导数定义求极限 1) 推出基本的导数公式及求导法则 2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊 函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题
西安毛子律枝大学f(sin? x+ cosx)例1. 若f(1)= 0 且f(1) 存在,求 lim(e-1)tan xx→>0f(sin? x+ cos x)解：原式= lim+2x-0lim(sin2 x+cosx)=1 且 f(1)=0-联想到导数的定义式f(1+sin? x+cosx-1)- f(), sin? x+ cosx-1limxsin?x+cosx-1x-0f'(1) ·(1-==f(1)
4 例1. 若 f (1) = 0 且 f (1) 存在 , 求 . ( 1)tan (sin cos ) lim 2 0 e x f x x x x − + → 解: 原式 = 2 2 0 (sin cos ) lim x f x x x + → 且 联想到凑导数的定义式 2 2 0 (1 sin cos 1) lim x f x x x + + − = → sin cos 1 2 x + x − sin cos 1 2 − f (1) x + x − = f (1) ) 2 1 (1− (1) 2 1 = f
西安毛子律枝大学f(x)例2.设f(x）在x=2处连续,且lim3.x=2 x - 2求f(2).f(x)解: f(2) = limf(x) = lim[(x-2)(x-2)x-→2f(x)- f(2)f'(2) = limx-2x-→2f(x)- lim= 3x-2 x - 25
5 例2.设 f (x) 在 x = 2 处连续,且 3, 2 ( ) lim 2 = → x − f x x 求 f (2) . 解: f (2) = ] ( 2) ( ) lim[( 2) 2 − = − → x f x x x = 0 2 ( ) (2) (2) lim 2 − − = → x f x f f x 2 ( ) lim 2 − = → x f x x = 3 2 lim ( ) x f x →
二西安毛子律技大学2xen(x-1) + ax + b例3. 设f(x)= limen(x-1) +1n-0试确定常数a,b使,f(x)处处可导,并求f'(x)ax+b,x1x1时,f'(x)=2x利用f(x)在x=1处可导，得α+b =1=(α+b+1)f(1t)= f(1)= f(1)即a= 2f'(1) = f*(1)6
6 例3. 设 试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求 解: f (x) = ax + b , x 1 ( 1), x = 1 2 1 a+ b + , x 1 2 x x 1时, f (x) = a ; x 1时，f (x) = 2x. (1) (1) − + f = f 利 用 f (x)在 x = 1处可导， 得 即 a + b = 1 ( 1) 2 1 = a + b + a = 2 f f f (1 ) (1 ) (1) + − = =
西安毛子律技枝大学=ax+b,x1x1时,f'(x)=2xf'(1) = 2 a=2, b=-1,x≤1[2,f(x)=2x,x>17
7 a = 2, b = −1, f (1) = 2 = 2 , 1 2 , 1 ( ) x x x f x f (x) = ax + b , x 1 ( 1), x = 1 2 1 a+ b + , x 1 2 x x 1时, f (x) = a , x 1时，f (x) = 2x
三西安毛子律技大学2例4 设 f(x) 可微且 f(x)>0,(0)=f(0)=1, 求lim f(x)解 f(x)可微必连续，从而limf(x)=f(O)=1,1Lin f(x)lim=ln f(x)=el=elim f(x)* = limex=er>0xx→0x->0In f(x)In[1+ f(x) -1]f(x)-1limlimlimx->0x-0x->0xxxf(x)-f(0)= f'(0)= 1,- limx-0x->0
解 例4 设 f x( ) 可微且 f x f f ( ) 0, (0) (0) 1, = = 求 1 0 lim ( ) . x x f x → f x( ) 可微必连续, 0 lim ( ) (0) 1, x f x f → 从而 = = 1 1 ln ( ) 0 0 lim ( ) lime f x x x x x f x → → = 0 1 lim ln ( ) e x f x → x = 0 ln ( ) lim x f x → x = 0 ( ) 1 lim x f x → x − = 0 ( ) (0) lim x 0 f x f → x − = − = = f (0) 1,1 = = e e. 0 ln[1 ( ) 1] lim x f x → x + −
西安毛子律枝大学-例5 对任意正数x,y有 f(xy)= f(x)+ f(y)且 f'(l)=1.证明f(x)在(O,+o)内可导.证 f(11)= f(1)+ f(1), :: f(1)=0, Vxe(0,+),有f[x·(1+^)]- f(x)f(x+h)-f(x)f'(x)= lim ==lim4hhh->0h-→0hf(1+f(x)+ f(1+f(x)f(1xxx= limlimlim-hhhh-0h->0h->0xx1'(1)存在xx
例5 对任意正数 x y, 有 f x y f x f y ( ) ( ) ( ) = + 且 f (1) 1, = 证明 f x( ) 在 (0, ) + 内可导. 证 f f f (1 1) (1) (1), = + = f (1) 0, + x (0, ),有 0 ( ) ( ) ( ) limh f x h f x f x → h + − = 0 [ (1 )] ( ) lim h h f x f x x → h + − = 0 ( ) (1 ) ( ) lim h h f x f f x x → h + + − = 0 (1 ) lim h h f x → h + = 0 (1 ) (1) 1 lim h h f f x h x x → + − = 1 f (1) x = 1 . x = 存在
西安毛子律枝大学2x3,x≥1,例6 设函数 f(x)=3则f(x)在x=1处（x2, x1时，f(x)=f'(x)X33x<1 时， f(x)=x2, f(x)=(x22xf(2)=2x2, =2, f(2) X: f'(2) = 2 = 2
例6 设函数 3 2 2 , 1, ( ) 3 , 1. x x f x x x = 则 f x( ) 在 x =1 处（ ）. （A）可导且 f (1) 2 = （B）左导数存在但右导数不存在 （C）右导数存在但左导数不存在（D）左、右导数都不存在 解 x 1 2 3 ( ) , 3 时， f x x = 2 3 2 ( ) 2 , 3 f x x x = = x 1 2 时， f x x ( ) , = ( ) 2 f x x x ( ) 2 , = = 2 1 (2) 2 2, x f x + = = = 1 (2) 2 2, x f x − = = = = f (2) 2, A