西安电子科技大学：《高等数学》课程PPT教学课件（讲稿）第二章 导数与微分 2.3 高阶导数

西安毛子科技大学数学与统计学院Schoolofmathematies and statistiesXIDIAN UNIVERSITY雪等数学第三节 高阶导数

第三节 高阶导数

西安毛子科技大学高阶导数XIDIAN UNIVERSITY一、高阶导数的基本概念引例设变速直线运动的位置函数为 s=s(t)v(t) = s(t)速度dsd加速度a= v(t) = (s'(t) =dt (dt这种s(t)导数的导数称为s(t)对t的二阶导数

高阶导数 一、高阶导数的基本概念 引例 d d ( ) ( ( )) d d s a v t s t t t   = = =        v t s t ( ) ( ) =  加速度 这种 s t( ) 导数的导数称为 s t( ) 对 t 的二阶导数． 设变速直线运动的位置函数为 s s t = ( )， 速度

西安毛子科技大学高阶导数XIDIAN UNIVERSITY定义1.若函数 y=f(x)的导数 =f(x)可导，则称f(x即的导数为f(x)的二阶导数,记作 J"或y)"=(y)或dx?dx dx类似地，二阶导数的导数称为三阶导数,依次类推，n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作J(4)y",.., J(n)d'ydt yd" y或dx3,dx4:dxn

高阶导数 y y    = ( ) 或 2 2 d d d( ) d d d y y x x x = 或 的导数为 f x( ) 的二阶导数,记作 或 即 阶导数的导数称为 n 阶导数,分别记作 定义1 若函数 y f x = ( ) 的导数 y f x   = ( ) 可导, 则称 类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,依次类推, n −1

西安毛子科技大学高阶导数KIDIANUNIVERSITY注（1）函数y=f(x)具有n阶导数，也称函数y=f(x)为n 阶可导。(2）如果函数f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某邻域内必定具有一切低于n阶的导数（3）二阶及二阶以上的导数通称高阶导数.相对于高阶导数也将函数y=f(x)的导数f(x)叫做y=f(x)的一阶导数

高阶导数 的某邻域内必定具有一切低于 n 阶的导数． 也将函数y f x = ( )的导数 f x ( ) 叫做y f x = ( )的一阶导数． 注（1）函数 y f x = ( ) 具有 n 阶导数，也称函数 y f x = ( ) 为 （2）如果函数 f x( ) 在点 x 处具有 n 阶导数，那么 f x( ) 在点 x n 阶可导． （3）二阶及二阶以上的导数通称高阶导数.相对于高阶导数

西安毛子科技大学高阶导数XIDIAN UNIVERSITY几个初等函数的n阶导数公式例1 求指数函数y=α(a>0,al)的n 阶导数y'= a'(Ina解(lna))y"=(y')'=lna.a"Ina =a*y" =(y")'=(lna)?.a"Ina =a"(lna)y(4) =(y") =(lna)3 . a"Ina=α"(lna)一般地，归纳可得 j(n)=α"(lna)"，即(a")(m) =a"(lna)" (xeR) (e')(m) =e" (xeR)

高阶导数 几个初等函数的 n 阶导数公式 例1 求指数函数 ( 0, 1) 的 阶导数． x y a a a =   n 解 y y a    = =  ( ) ln ln x y a a  = ， 2 y y a    = =  ( ) (ln ) 一般地，归纳可得 ( ) (ln ) , n x n y a a = 即 ( ) (e ) e ( ). x n x = x R ( ) ( ) (ln ) ( ) x n x n a a a x = R ln x a a 2 (ln ) x = a a ， ln x a a 3 (ln ) x = a a ， (4) 3 y y a = = ( ) (ln )   ln x  a a 4 (ln ) x = a a

西安毛子科技大学高阶导数IDIAN UNIVERSITY例2求正弦函数及余弦函数的n阶导数元解y=sinx,y'= cosx = sin= sinX2元元元y"=cossinXsin222T元元.2cos+x+2-= sin222元元元(4)x+3.x+3.=cos=sinsin222元一般地，可得（sinx)(")=sin(xeR).x+n2元导 (cosx)(n) =cos(xeR).类似地可得+n2

高阶导数 例2 求正弦函数及余弦函数的 n 阶导数． 解 y x = sin ， y  = π cos 2 x     +   π π sin 2 2 x   = + +     π sin 2 2 x   = +     ， π π sin 2 2 2 x   = +  +     π sin 3 2 x   = +     ， y  = cos x π sin 2 x   = +     (4) π cos 3 2 y x   = +      π π sin 3 2 2 x   = +  +     π sin 4 2 x   = +     ， π cos 2 2 x   +      y  = π sin 1 2 x   = +     ， 一般地，可得 ( ) π (sin ) sin ( ) 2 n x x n x   = +       R . ( ) π (cos ) cos ( ). 2 n x x n x   = +       类似地可得 R

西安毛子科技大学高阶导数XIDIAN UNIVERSITS二、高阶导数的求导法则设函数u=u(x)及v=v(x)都在点x处具有n阶导数，那么函数 Cu(x), u(x)±v(x), u(x)v(x)在点x处也具有n 阶导数，且①(Cu)" =C.u()（C为常数）；②(u±v)")=u")±(n);()" = y+ mu-)+n(n-,u-2),"+③21n(n-1).(n-k+1)u(-k),(k) +..+(m)k!Chu(n-k)y(k)③式可记作(uv)(n)=u(0)规定=uk=0莱布尼兹（Leibniz）公式

高阶导数 设函数 u u x = ( ) 及 v v x = ( ) 都在点 x 处具有 n 阶导数，那么函 数 Cu x( ), u x v x ( ) ( ),  u x v x ( ) ( ) 在点 x 处也具有 n 阶导数，且 ( ) ( ) ( ) n n Cu C u =  （ C 为常数）； ( ) ( ) ( ) ( ); n n n u v u v  =  ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) . ! n n n k n k k n u v uv k − − + − + + 二、高阶导数的求导法则 ① ② ③ ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) ( 1) 2! n n n n n n uv u v nu v u v − − − = + + + +   ③ 式可记作 莱布尼兹(Leibniz)公式 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) n n k n k k n k uv C u v − = =  (0) 规定 u u =

西安毛子科技大学高阶导数XIDIANUNIVERSITY例3设=xe2x，求(20)(uw)(n) =ZChu(n-k),(k)解 设 u=e2,=x2则u(k) = 2ké2x(k =1,2,...,20)v'= 2xv(k) =0(k=3,4, ..,20)v"=2代入莱布尼兹公式，得y(20) = C%ou(20)v +C2ou(19)v' +C2ou(18) ,"20.19(20) = 220 .e2* . x2 +20 . 219 .e2* .2x +e2x.22= 220 e2*(x? + 20x + 95)

高阶导数 例3 求 代入莱布尼兹公式, 得 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) n n k n k k n k uv C u v − = =  ( ) 2 2 ( 1,2, ,20) k k x u e k = = v x  = 2 v  = 2 ( ) 0 ( =3,4, ,20) k v k = (20) 0 20 (20) y = C u v 解 设 u e = 2x , v x = 2 则 (20) 20 2 2 2 x y = e  x 1 (1 20 9) +C v u  2 (1 20 8) +C u v  19 2 20 2 2 x +  e  x 18 2 2 20 9 2 2 1 x  e  +  2 2 , x y x e = (20) y . 20 2 2 2 ( 20 95). x = + + e x x 设

西安毛子科技大学高阶导数XIDIAN UNIVERSITS例4 设 y=x2f(sinx)，求 y",其中二阶可导解y'= 2x·f(sinx)+x°f'(sinx).cosxy" = (2xf(sinx)'+(x f(sinx)cosx)= 2f(sin x) +2x ·f(sinx)·cosx+2x f(sinx)cosx +x? f"(sin x).cos x ·cos x+x f'(sinx)(-sinx)=2f(sinx)+(4xcosx-x sinx)f(sin x) +x? cos* xf"(sin x)f'(sin x)依然是关于中间变量sin x 的复合函数

高阶导数 例4 2 设 y x f x = (sin ), 求 y  ， 其中 f 二阶可导. 解 2 +x f x (sin )cos xcos x f x x (sin ) sin 依然是关于中间变量 的复合函数

西安毛子科技大学高阶导数XIDIANUNIVERSITY例5设 = f[xg(x)],其中f,g可导，求y,y"解y' = f(xg(x) (xg(x)= f'(xg(x) (2xg(x)+ xg(x)y" = (y')'=[f"(x’g(x) (2xg(x)+x’g'(x)] (2xg(x)+ x’g(x)+f'(xg(x) [2g(x)+2xg(x)+(2xg'(x)+ x2g"(x))

高阶导数 例5 设 2 y f x g x = [ ( )]， 其中 f g, 可导, 求 y y   , . 2 2 y f x g x x g x    =  ( ( )) ( ( )) 2 2 =  + f x g x xg x x g x   ( ( )) (2 ( ) ( )) y y    = ( ) 2 2 2 =  +  + [ ( ( )) (2 ( ) ( ))] (2 ( ) ( )) f x g x xg x x g x xg x x g x    2 2 +  + + + f x g x g x xg x xg x x g x     ( ( )) [2 ( ) 2 ( )) (2 ( ) ( ))] 解