西安毛子科技大学数学与统计学院XIDIAN UNIVERSITYSchool of mathemnties and stntisties高等数学第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等 函数的连续性
西安毛子科技大学连续函数的运算与初等函数连续性XIDIAN UNIVERSIT一、连续函数的和、差、积、商的连续性定理1 若f(x),g(x)在点 处连续，则(1)f(x)±g(x)在xo处连续；(2)f(x)·g(x）在xo处连续；(3) 当 g(x)0 时, ),在x处连续g(x)由函数在点x连续的定义和极限的四则运算法则可证
连续函数的运算与初等函数连续性 定理1 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 若 f x g x ( ), ( ) 在点 x0 处连续, 则 (1) f x g x ( ) ( ) 在 x0 处连续； (2) f x g x ( ) ( ) 在 x0 处连续； (3) 当 g x( ) 0 0 时， 在 x0 处连续. ( ) ( ) f x g x 由函数在点 x0 连续的定义和极限的四则运算法则可证
西要毛子科技大学连续函数的运算与初等函数连续性XIDIANUNIVERSITY两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零时）是连续的推广有限个连续函数的和、差、积是连续的例1 sinx,cosx在（-,+）上连续11sinxcosxcotx:tanxsecxCSCXsinxsin xcos.xcosx在其定义域内连续结论三角函数在其定义域内都是连续的
连续函数的运算与初等函数连续性 在其定义域内连续. 结论 三角函数在其定义域内都是连续的. 推广 有限个连续函数的和、差、积是连续的. 两个连续函数的和、差、积、商(分母不为零时)是连续的. 例1 在 ( , ) − + 上连续
西安毛子科技大学连续函数的运算与初等函数连续性XIDIAN UNIVERSITY二、反函数的连续性定理2 若y=f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)且连续则其反函数 x=f-(y)也在对应区间I,=(yly=f(x),xeI)上单调增加(或单调减少)且连续。（证明略）简单地说单调连续函数的反函数是连续的
连续函数的运算与初等函数连续性 则其反函数 二、反函数的连续性 简单地说 单调连续函数的反函数是连续的. 定理2 若 y f x = ( ) 在区间 I x 上单调增加(或单调减少)且连续， 也在对应区间 1 x f y( ) − = { | ( ), } y x I y y f x x I = = 上单调增加(或单调减少)且连续. (证明略)
西要毛子科技大学连续函数的运算与初等函数连续性XIDIANUNIVERSITY例2函数=sinx在【-，］上单调增加且连续，其反函数x=arcsiny在[-1,1]上也单调增加且连续y=arcsinx在[-1,1]上单调增加且连续同理y=arccosx在[-1,1]上单调减少且连续y=arctan x在（-o0,o)上单调增加且连续y=arccotx在(-oo,oo)上单调减少且连续结论反三角函数在其定义域内都是连续的
连续函数的运算与初等函数连续性 例2 函数 在 上单调增加且连续, 其反函数 x y = arcsin 在 上也单调增加且连续, 在 上单调增加且连续. y x = arctan 在 上单调增加且连续, 结论 反三角函数在其定义域内都是连续的. 同理 y x = arccos 在 上单调减少且连续, y x = arccot 在 上单调减少且连续
西安毛子科技大学连续函数的运算与初等函数连续性XIDIAN UNIVERSITY三、复合函数的连续性定理3 设函数y=flg(x)由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,U(xo)cDfog若 lim g(x)=uo,而函数y=f(u)在 uo连续，则有lim flg(x)= lim f(u)=f(uo)u-ug证参见第五节定理6的证法（略）注1在定理3条件下，求复合函数极限时，极限号lim与函数符号f可交换次序.即limf[g(x)]=f[limg(x)]2定理3中的x→x。可换成其它变化过程，有类似结论
连续函数的运算与初等函数连续性 三、复合函数的连续性 定理3 设函数 y f g x = [ ( )] 由函数 y f u = ( ) 与函数 u g x = ( ) 复合而成， 0 ( ) . U x D f g 连续，则有 若 而函数 y f u = ( ) 在 0 u 证 参见第五节定理6的证法（略） 2 定理3中的 可换成其它变化过程，有类似结论. 即 注 1 在定理3条件下，求复合函数极限时，极限号 与 函数符号 可交换次序
西安毛子科技大学连续函数的运算与初等函数连续性XIDIANUNIVERSITY定理4设函数y= f[g(x))由函数y= f(u)与函数u=g(x)复合而成,U(xo)CDfog.若u=g(x)在x连续，且g(xo)=uo,而函数y=f(u)在uo连续，则复合函数y=f[g(x)]在点x也连续证：只要在定理3中令。=g(x）即可
连续函数的运算与初等函数连续性 证：只要在定理3中令 u g x 0 0 = ( ) 即可. 则复合函数 在点 也连续. 定理4 设函数 y f g x = [ ( )] 由函数 y f u = ( ) 与函数 u g x = ( ) 复合而成， 0 ( ) . U x D f g 连续， 若 函数 y f u = ( ) 在 0 u u g x = ( ) 在 0 x 连续，且 0 0 g x u ( ) , = 而
西安毛子科技大学连续函数的运算与初等函数连续性XIDIAN UNIVERSITY简单的说两个连续函数的复合函数是连续的推广由有限个连续函数经有限次复合而成的函数是连续的工yt例如y=sin=是由连续函数1y= sinxxIx?从=, xe(-00,0)U(0,+00)xy= sin u, ue(-0, +o0)复合而成，因此y=sin二在xE(-,O)U(O,+)上连续X
连续函数的运算与初等函数连续性 复合而成, x y o 1 y sin x = 例如 是由连续函数 因此 在 上连续. 推广 由有限个连续函数经有限次复合而成的函数是连续的. 简单的说 两个连续函数的复合函数是连续的
西要毛子科技大学连续函数的运算与初等函数连续性XIDIAN UNIVERSIT例3讨论幂函数y=x"在(0,+)内的连续性解因为幂函数y=x"=ellxy=eulnx是由=e",u=μlnx复合而成的复合函数，由定理4知，幂函数y=x"在(0,+)内连续注当=x"在（-,O)内有定义时，同样可证它是连续的结论幂函数在其定义域内连续
连续函数的运算与初等函数连续性 例3 讨论幂函数 在 内的连续性. 解 因为幂函数 是由 复合而成的复合函数， 由定理4知，幂函数 在 内连续. 注 当 在 内有定义时，同样可证它是连续的. 结论 幂函数在其定义域内连续
西安毛子科技大学连续函数的运算与初等函数连续性XIDIANUNIVERSITY四、初等函数的连续性结论基本初等函数在其定义域内都是连续的结论一切初等函数在其定义区间内都是连续的。定义区间包含在定义域内的区间注初等函数仅在其定义区间内连续，在其定义域内不一定连续.例如1)函数 y=√cosx-1定义域D:0,±2元,±4元，….函数在定义域内的每个点处都不连续
连续函数的运算与初等函数连续性 四、初等函数的连续性 定义区间 包含在定义域内的区间. 结论 基本初等函数在其定义域内都是连续的. 结论 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 注 初等函数仅在其定义区间内连续，在其定义域内不一定 例如 1)函数 y x = − cos 1 定义域 D : 0, 2 , 4 , 函数在定义域内的每个点处都不连续. 连续