第一章习题选讲
第一章 习题选讲
1. 设f(x)定义在区间（-00,+）上,且对任意实数x,有 f(x+y)=f(x)+f(y),若f()在x=0连续证明f(x)对一切x都连续。解：由题意，对任意x，有lim f(x+△x)= lim [f(x)+ f(△x)]Ax-0Ax->0= f(x)+ f(0)= f(x+0) = f(x)所以f(x)在x处连续。2
2 1. 设 f (x) 定义在区间 上 , , 若 f (x) 在 连续, 解: lim ( ) 0 f x x x + → lim [ ( ) ( )] 0 f x f x x = + → = f (x) + f (0) = f (x + 0) = f (x) 且对任意实数 证明 f (x) 对一切 x 都连续 . 由题意，对任意𝑥，有 所以f (x) 在x处连续
2. 证明:若f(x)在点 xo连续,且 f(x)≠0,则存在X的某一邻域 U(xo),当 xU(x）时,f(x)0证：不妨设f(x）>0，由f(x)在点x.连续,则lim f(x)= f(xo)x-→xf(x)>0,38>0,当|x-x|<时即给定8=2有 If(x)-f(xo)kf(xo)<f(x)<=f(x), : f(x)即03
3 2. 证明: 若 f (x) 在点 0 x 连续,且 0 f x( ) 0, 0 x0 的某一邻域 U x( ), x U x ( )0 时， 0 当 f x( ) 0. 则存在 证: 不妨设 即给定 0 1 ( ) 0, 0, 2 = f x 当 0 x x − 有 0 0 1 | ( ) ( ) | ( ) 2 f x f x f x − 时 0 f x( ) 0, 由 f (x) 在点 0 x 连续, 则 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 即 0 0 1 3 ( ) ( ) ( ), 2 2 f x f x f x 0 1 ( ) ( ) 0 2 f x f x
3.用极限的定义证明：若lim f(x)g(x) = 0, lim f(x) = 00,则limg(x)=0证：由于lim f(x)=0故对于 M=1,X>0 ,当 [x|≥>X 时,f(x)|>M=1又 lim f(x)g(x)=0 则对于V>0,X,>0,当 [x|>X,时,[f(x)g(x)|X时,恒有 |g(x)-0|=f(x)g(x)x) f(x)从而证明lim g(x)=0.4
3. 用极限的定义证明: 若lim ( ) ( ) 0,lim ( ) , lim g( )=0. 则 x x x f x g x f x x → → → = = 证: 4 当 x X 2 时， f x g x ( ) ( ) . 故取 X X X = max , 1 2 ，则当 x X 时， 恒有 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) g x f x g x f x − = 从而证明 lim g( )=0. x x → 当 x X 1 时， f x M ( ) 1 = . 又 lim ( ) ( ) 0 x f x g x → = 则对于 0, 0 X2 ， 由于 lim ( ) x f x → = 故对于 M X = 1, 0 1
4.求lim (1+2×+3*)*x>+α解： 令 f(x)=(1+2*+3)*=3[()*+()*+1]则3+o15. lim(x+e*)*X-01x解： 原式= elim(1+Yex-0ex2rex= elim(1+0x-01lim-e2e·exmex5
5 4. 求 lim (1 2 3 ) . 1 x x x x + + →+ 解 : 令 x x x f x 1 ( ) = (1+ 2 + 3 ) x x x 1 3 ( ) ( ) 1 32 31 = + + 则 3 f (x) x1 33 利用夹逼准则可知 lim ( ) = 3. →+ f x x 5. 1 0 lim( )x x x x e → + 解 : 原式 = 𝑒 lim𝑥→0 ( 1 + 𝑥𝑒𝑥 ) 1𝑥 = 𝑒 lim𝑥→0 ( 1 + 𝑥𝑒𝑥 ) 𝑒 𝑥𝑥 ∙ 1𝑒𝑥 = 𝑒 ∙ 𝑒 lim𝑥→0 1𝑒𝑥 = 𝑒 2
x? +ax+b6. 设 lim3,确定a、b的值x-1 sin(x2 -1)解：由于 limsin(x2-1)=0,故 lim(x? +ax+b)=1+a+b=0,即 b=-l-α，于是x? +ax + bx2-1+a(x-1)lim-= lim→1 sin(x? -1)x2 - 1x-ia= lim(1+ -x+1)x-1=1+α= 3解得 a=4,b=-52.6
6. 设 2 2 1 lim 3, sin( 1) x x ax b → x + + = − 确定 a、b 的值. 解: 6 = lim 𝑥→1 𝑥 ) 2 − 1 + 𝑎(𝑥 − 1 𝑥 2 − 1 = lim 𝑥→1 (1+ 𝑎 𝑥 + 1 ) 解得 a = 4,b = -5. 2 2 1 lim sin( 1) x x ax b → x + + − 即 b a = − −1 , 于是 故 2 1 lim( ) 1 =0， x x ax b a b → + + = + + 由于 2 1 limsin( 1) 0 x x → − = ， =1+ 1 2 𝑎 = 3
x? +ax+17. 求f(x)=的间断点并指出类型。x-2解： x = 2为f(x)的间断点。 由于 lim(x-2)=0,当 α=号时， lim(x2 +ax+1)=4+2α+1=0,231则有 lim f(x) = lim(x -22x-2x-2此时x=2为f(x)的可去间断点（第一类）。当 α ±-号时,lim(x2+ax+1)=4α+ax+1±0,2则有 lim f(x) = 807故此时x=2为f(x)的无穷间断点（第二类）
2 1 ( ) 2 x ax f x x + + = − 7. 求 的间断点并指出类型。 解: 当 2 2 lim( 1) 4 2 1=0， x x ax a → + + = + + 由于 2 lim( 2) 0， x x → − = 𝑎 = − 5 2 时， 则有 lim 𝑥→2 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→2 (𝑥 − 1 2 ) = 3 2 𝑥 = 2 为𝑓(𝑥)的间断点。 此时 𝑥 = 2 为𝑓(𝑥)的可去间断点（第一类）。 当 2 2 lim( 1) 4 1 0， x x ax a ax → 𝑎 ≠ − + + = + + 5 2 时， 则有 lim 𝑥→2 𝑓 𝑥 = ∞ 故此时 𝑥 = 2 为𝑓(𝑥)的无穷间断点（第二类）。 7
1aexsinx8. 求 f(x)= a的间断点并指出类型。1 [x|1+ex解：x =0为f(x)的间断点。1sin xa+exf(0t) = lim= 1 - 1 = 0,1-0x1+ex1a+exsinxf(0)= lim= a + 1,1x->0xl+ex当α=－1时，x=0为f(x)的可去间断点（第一类)当α≠一1时，x=0为f(x)的跳跃间断点（第一类）8
1 1 sin ( ) 1 x x a e x f x x e + = − + 8. 求 的间断点并指出类型。 8 解: 当 1 + 1 0 sin (0 ) lim 1 x x x a e x f x e → + + = − + 𝑎 = −1 时， 𝑥 = 0 为𝑓(𝑥)的间断点。 𝑥 = 0 为𝑓(𝑥)的可去间断点（第一类） 当 𝑎 ≠ −1 时，𝑥 = 0 为𝑓(𝑥)的跳跃间断点（第一类） = 1 − 1 = 0, 1 - 1 0 sin (0 ) lim 1 x x x a e x f x e → − + = + + = 𝑎 + 1
2n-1+ax?+bx9. 设 f(x)=lim为连续函数，求a,b.x2n +1n-00解：当 |xl > 1 时，lim x2n-1= lim x2n = c0n-8n-8ba1+:1x2n-3 +x2n-2f(x) = lim1n-0xx+x2n-1当[xl<1时，limx2n-11 = limx2n = 0n-80n-80 +ax2 + bxf(x) ==ax2 + bx0+11+a+b当x = 1时，f(x) =2-1+a-b当x =-1时，f(x)=209
9. 设 2 -1 2 2 + ( )=lim 1 n n n x ax bx f x → x + + 为连续函数，求𝑎, 𝑏 . 当 𝑥 1 时， lim 𝑛→∞ 𝑥 2𝑛−1 = lim 𝑛→∞ 𝑥 2𝑛 = 0 lim 𝑛→∞ 𝑥 2𝑛−1 = lim 𝑛→∞ 𝑥 2𝑛 = ∞ 𝑓 𝑥 = 0 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 0 + 1 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 当𝑥 = 1 时，𝑓 𝑥 = 1 + 𝑎 + 𝑏 2 当𝑥 = −1 时，𝑓 𝑥 = −1 + 𝑎 − 𝑏 2 9
1由于 f(1+)= lim =1x-i+ xf(1-) = lim (ax2 + bx) = a + bx-1f(-1t) = lim,(ax2 + bx) = a- bX-1f(-1-) = lim,1x=-i+ x且f(αx)连续，即 f(1+) =f(1-) =f(1),f(-1+) = f(-1-) = f(-1)则有 α+b= 1,α一b=-1. 解得α=0,b=110
𝑓 1 + = lim 𝑥→1+ 1 𝑥 = 1 𝑓 1 − = lim 𝑥→1+ (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥) = 𝑎 + 𝑏 𝑓 −1 + = lim 𝑥→−1+ (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥) = 𝑎 − 𝑏 𝑓 −1 − = lim 𝑥→−1+ 1 𝑥 = −1 𝑎 + 𝑏 = 1, 𝑎 − 𝑏 = −1. 𝑎 = 0, 𝑏 = 1. 由于 且𝑓(𝑥)连续，即 则有 解得 𝑓 1 + = 𝑓 1 − = 𝑓(1), 𝑓 −1 + = 𝑓 −1 − = 𝑓(−1) 10