西安毛子科技大学数学与统计学院XIDIAN UNIVERSITYSchool of mathenmnties and sttisties雷等数学第五节函数的微分
第五节 函数的微分
西安毛子科技大学函数的微分XIDIAN UNIVERSITY一、微分的概念引例一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由x变到x+△x，问此薄片面积A改变了多少?解当 x在x取得增量△x 时，面积的增量为XoArA =(x。 + Ax)? - x(△x)2Ax= 2xAx +(Ax)3XoAr关于△x的 △x→0 时为△xA=x-Xo线性函数?的高阶无穷小
函数的微分 一、微分的概念 0 x x 面积的增量为 0 x x 2 0 A = x 0 x x 2 ( ) x 当 x 在 x0 取 得增量 x 时, 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, x0 变到 x x 0 + , 问此薄片面积 A 改变了多少? 其边长由 解 的高阶无穷小 关于 的 →x 0 时为 x 线性函数 x
西安毛子科技大学函数的微分XIDIANUNIVERSITY定义1若函数 y=f(αx)在点 x的增量可表示为Ay = f(x +△r)- f(x) = A△x+o(△x)（A为不依赖于△x的常数）则称函数 = f(x)在点 x。可微，而 A△x称为f(x)在点xo的微分，记作dy或df(x)，即dy = Ax
函数的微分 而 A x 称为 在点 的微分,记作 或 即 dy A x = = + A x o x ( ) 则称函数 y f x = ( ) 在点 可微, 定义1 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于 的的常数)
西安毛子科技大学函数的微分XIDIAN UNIVERSITY理论上，利用定义完全可以检验函数在一点是否可微如 =x,Ay=(x +Ax)-x =3xAx +3x (Ax)* +(Ax)3关于Ax的r→0时为△r线性主部的高阶无穷小故y=x在其定义域内的每一点xo处都可微，且dy=3x△x但实际中，用定义判断函数在一点是否可微往往比较繁琐xAx如 y= sin x, Ay= sin(xo +△x)-sin X=2cosX +sin22有没有判定函数在一点可微行之有效的简便方法呢？
函数的微分 理论上,利用定义完全可以检验函数在一点是否可微. 但实际中，用定义判断函数在一点是否可微往往比较繁琐. 3 3 3 2 2 3 0 0 0 0 如 y x y x x x x x x x x = = + − = + + ， ( ) 3 3 ( ) ( ) 关于 x 的 线性主部 故 在其定义域内的每一点 处都可微，且 3 y x = 0 x 2 0 d 3 . y x x = 如 0 0 0 sin sin( ) sin 2cos sin . 2 2 x x y x y x x x x = = + − = + ， 有没有判定函数在一点可微行之有效的简便方法呢？ 0 x x y = 的高阶无穷小 →x 0 时为 x
西安毛子科技大学函数的微分XIDIANUNIVERSITY定理函数y=f(x)在点x可微的充分必要条件是y=f(x)在点x可导，且A=f(x)，即dy = f(xo)Ax证（必要性）已知y=f(x)在点x可微，则Ay = AAx + o(Ax)上式两边除以x，当△x→0时，0(△x)AylimlimA+即 f(x)=AAAr-0AxAr-A(Ax故y=f(x)在点x可导，且A=f'(x）
函数的微分 0 d ( ) . y f x x = 证 （必要性）已知 y f x = ( ) 在点 x0 可微，则 故y f x = ( )在点 x0 可导，且 A f x = ( )0 . 0 0 ( ) lim lim x x y o x A A → → x x = + = 上式两边除以 , x 当 →x 0 时， 0 即 ( ) f x A = = + y A x o x ( ). 定理 函数 y f x = ( ) 在点 x0 可微的充分必要条件是 y f x = ( ) 在 0 点 x 可导，且 A f x = ( )0 ，即
西安毛子科技大学函数的微分XIDIAN UNIVERSITY定理 函数= f(x)在点x可微的充分必要条件是 y= f(x)在点可导，且A=f(x），即dy = f'(xo)Ax证（充分性）已知y=f(x)在点x可导，则=f(x)= f(x)+α (limα=0)lim Ar-0 △xf'(x)= A,故 △y= f'(x)△x+α△x = A △x + o(△x)α△x = o(△x)即y=f(x)在点xo可微，且dy=f(x)Ax
函数的微分 证 （充分性）已知 y f x = ( ) 在点 x0 可导，则 0 0 lim ( ) x y f x → x = 0 0 ( ) (lim 0) x y f x x → = + = 即 y f x = ( ) 在点 x0 可微，且 d ( ) y f x x = 0 . 故 0 ( ) , ( ). f x A x o x = = 0 ( ) = + y f x x x = + ( ) A x o x 0 d ( ) . y f x x = 定理 函数 y f x = ( ) 在点 x0 可微的充分必要条件是 y f x = ( ) 在 0 点 x 可导，且 A f x = ( )0 ，即
西安毛子科技大学函数的微分XIDIANUNIVERSITY注（1）定理表明，若f(x)存在，则Ay= f(x)Ax +o(Ax) 且 dy = f'(x)Ax(2）当f(x）±0时，有AyAy = limy=1lim1mAx=0 dy - Ar-0 f(x0)Axf(xo) Ar-=0 △x从而，当△x一→0时，△y与dy是等价无穷小，换言之，即Ay= dy + o(dy)故当Ax很小时，有近似等式△y～dy
函数的微分 0 = + y f x x o x ( ) ( ) 且 0 d ( ) . y f x x = 0 0 0 0 0 1 lim lim lim 1. d ( ) ( ) x x x y y y → → → y f x x f x x = = = 0 （2）当 f x ( ) 0 时，有 从而，当 →x 0 时， y 与 dy 是等价无穷小，换言之，即 = + y y o y d (d ) 故当 x 很小时，有近似等式 y yd .. 注 （1）定理表明，若 f x ( )0 存在，则
西安毛子科技大学函数的微分XIDIAN UNIVERSITY定义2函数y=f(x)在任意点x的微分，称为函数的微分记作dy或df(x)，即dy = f(x)Ax规定：△x=dx．于是函数 =f(x)的微分又可记作dy= f'(x)dxdy导数也叫做“微商= f'(x)从而有dx这表明，函数的导数就是函数的微分dy与自变量微分dx之商
函数的微分 d ( ) . y f x x = d ( )d y f x x = 从而有 d ( ) d y f x x = 这表明，函数的导数就是函数的微分 dy 与自变量微分 dx 之商. 函数 y f x = ( ) 在任意点 x 的微分，称为函数的微分， 规定： d . =x x 于是函数 y f x = ( ) 的微分又可记作 定义2 记作 dy 或 d ( ) f x ，即
西安毛子科技大学函数的微分XIDIANUNIVERSITY二、 微分的几何意义y= f(x)yt如图可知：MP=△x，NP=AyA1M则QP = MP.tanα = x · f'(x):Ax!Ody = QP.即可Xo X+Ax总之，对可微函数y=f(x)而言，当△y是曲线y=f(x)上的点的纵坐标增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量以（切线段)直代（曲线段）曲当Ax很小时，Ay~dy。以线性函数代替非线性函数
函数的微分 二、 微分的几何意义 如图可知： d . y QP = MP x = , NP y = . 0 则 QP MP x f x = = tan ( ) 即 yO y f x = ( ) • M N • x Ty dy PQ 当 x 很小时， y yd . 以(切线段)直代(曲线段)曲、 以线性函数代替非线性函数. 总之，对可微函数 y f x = ( ) 而言，当 y 是曲线 y f x = ( ) 上的 点的纵坐标增量时， dy 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量. 0 x0 x x +
西安毛子科技大学函数的微分XIDIANUNIVERSITY三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则1：基本初等函数的微分公式由可微函数的微分表达式dy= f'(x)dx可见，利用每一个基本初等函数的导数公式，即可相应的写出基本初等函数的微分公式（见教材P113-114表格），这里省略例如：d(x")=μuxu-'dx，d(a")=a"lnadx 等等
函数的微分 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 1. 基本初等函数的微分公式 由可微函数的微分表达式 可见，利用每一个基本初等函数的导数公式，即可相应的写 出基本初等函数的微分公式(见教材P113-114表格),这里省略. 例如： d( )= ln d x x a a a x 1 d( )= d x x x − ， 等等. d ( )d y f x x =