西安毛子科技大学数学与统计学院XIDIAN UNIVERSITYSchool ofmathenntics and statistics畜等数学第二节洛必达法则
第二节 洛必达法则
西安毛子科技大学洛必达法则XIDIAN UNIVERSITY如果 lim f(x)=0,limg(x) = 0f(x)0为型.则称lim0g(x)如果 lim f(x)= o0,lim g(x) = 00未定式f(x)8则称 lim为型,g(x)8不能用商的极限等于极限的商来计算，如何计算？
洛必达法则 如果 lim ( ) 0, lim ( ) 0 f x g x = = ( ) lim ( ) f x g x 0 0 则称 为 型. 如果 lim ( ) , lim ( ) f x g x = = ( ) lim ( ) f x g x 则称 为 型. 未定式 不能用商的极限等于极限的商来计算，如何计算？
西安毛子科技大学洛必达法则XIDIANUNIVERSITY未定式0设函数f(x),g(x)满足定理1lim f(x) = 0, lim g(x)= O;(1)在点α的某去心邻域内,f(x)与g(x)存在，且 g(x)±0;(2)f'(x)lim(3)存在(或为无穷大)x-→>ag(x)f(x)f'(x)limlim则g'(x)g(x)xax->a
洛必达法则 未定式 0 0 定理1 设函数 f x( ), g x( ) 满足 (1) lim ( ) 0 lim ( ) 0 → → = = ， ； x a x a f x g x (2) 在点 a 的某去心邻域内， f x ( ) 与 g x ( ) 存在，且 g x ( ) 0; (3) 存在(或为无穷大). ( ) lim ( ) x a f x → g x 则 ( ) ( ) lim lim . ( ) ( ) x a x a f x f x → → g x g x = 一
西安毛子科技大学洛必达法则XIDIAN UNIVERSITYf'(x)定理条件：1) limf(x)=limF(x)=03) lim存在(或为)x-a F'(x)2) f(x)与 F(x)在U(a) 内可导,且F(x)±0f(x) 当x→α时极限与 f(a),F(a)无关，无妨假设证F(x)f(a)= F(a)=O， 故f(x),F(x) 在α 的某个邻域内连续则 f(x), F(x)在以x,α 为端点的区间上满足柯西定理条件故f(x)f(x)- f(a)f'()(在x,α之间)F(x)F(x)-F(a)F'()f(x)f'()f'()3)f'(x)limlimx-→a F(x)-a F()x-a F'()x=a F'(x)
洛必达法则 ( 在 x , a 之间) 证 无妨假设 f a F a ( ) ( ) 0, = = 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯西定理条件, 故 ( ) ( ) f F = ( ) lim ( ) x a f F → = 3) 定理条件: ( ) 3) lim ( ) x a f x → F x 存在(或为 ) ( ) lim a ( ) f F → = ( ) ( ) ( ) ( ) f x f a F x F a − − ( ) ( ) f x F x = 2) ( ) f x 与 F x( ) 在 ( ) a 内可导,且 当 时极限与 f a F a ( ), ( ) 无关, ( ) ( ) f x F x x a → 故 f x F x ( ), ( ) 在 a 的某个邻域内连续
西安毛子科技大学洛必达法则XIDIANUNIVERSIT在一定条件下，通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达(L'Hospital)法则0"x如果lim仍为未定式且 f(x),g(x)仍满足定理10a g'(x)的条件，则可继续使用洛必达法则，即f"(x)f(x)f(x)ima g(x)x-a g'(x) x-a g"(x)
洛必达法则 的条件，则可继续使用洛必达法则，即 ( ) ( ) ( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) x a x a x a f x f x f x → → → g x g x g x = = ( ) lim ( ) x a f x → g x 0 0 如果 仍为未定式 ，且 f x g x ( ), ( ) 仍满足定理1 导再求极限来确定未定式的值的方法， 在一定条件下，通过分子分母分别求 称为洛必达(L’Hospital)法则．
西安毛子科技大学洛必达法则XIDIAN UNIVERSITYx-sin x例1 求极限 limx→00解这是未定式由洛必达法则得011-cosxsinxsin xx-lim= lim lim33x266xx->0x->0x-00000
洛必达法则 例1 求极限 3 0 sin lim . x x x → x− 这是未定式 ，由洛必达法则得 0 0 0 sin 1 lim . → 6 6 = = x x x 解 3 0 sin lim → − x x x x 2 0 1 cos lim x 3 x → x − = 0 0 0 0
西安毛子科技大学洛必达法则XIDIANUNIVERSITS-2x-ex例2求极限limx->0x-sinx0解这是未定式由洛必达法则得0ere-x2xe*+0-x-2limlim1-6x->0x->0Cosxx-sinxee'+e-xet= lim lim2x-→0x->0sin xcos x00
洛必达法则 例2 求极限 0 e e 2 lim . sin x x x − → − − − x x x 这是未定式 ，由洛必达法则得 0 0 e e 2 lim 1 cos x x x x − → + − = 0 − e e lim cos x x x x − → + = 0 解 e e lim sin x x x x − → − = 0 = 2 . e e 2 lim sin x x x x x x − → − − 0 − 0 0 0 0
西安毛子科技大学洛必达法则XIDIAN UNIVERSITY(tan x -x)cosx例3求极限limx→0xsin x2解由于x→0时，sinx2～x2，并且 limcosx=1，所以(tan x - x)cos x0tan x- xlim= lim洛必达法则x sin x?x.x?x→00x-→0sec2x-1= lim3x2x-→01tan? x= lim3x23x-→>0
洛必达法则 例3 求极限 2 0 (tan )cos lim . x sin x x x → x x − 由于 x → 0 时， sin , x x 2 2 并且 limcos 1, x→0 x = 所以 0 2 (tan ) lim cos x sin x x x x → x − 2 2 0 sec 1 lim x 3 x → x − = 2 2 0 tan lim x 3 x → x = 解 0 2 tan lim x x x x → x − = 1 . 3 = 洛必达法则 0 0
西安毛子科技大学洛必达法则XIDIANUNIVERSITY注 对于 x→at,x→a 以及x→0,x→+,x→-8 时,0未定式号有相应结论。元arctan x2例4求极限lim1x→+00x0解当x→+8时，这是未定式由洛必达法则得O1元arctan xx?1+x?2lim= lim=1.lim11x→+0 1 + x?X->+00x-→+o0xx
洛必达法则 对于 x a x a , 以及 时， → → + − x x x → → + → − , , 未定式 有相应结论. 0 0 例4 求极限 π arctan 2 lim . x 1 x x →+ − 当 x → + 时，这是未定式 由洛必达法则得 0 . 0 π arctan 2 limx 1 x x →+ − 注 解 2 2 lim x 1 x →+ x = + 2 2 1 1 lim →+ 1 − + = − x x x =1
西安毛子科技大学洛必达法则XIDIAN UNIVERSITS二、 未定式定理2设函数f(x),g(x)满足条件(1) lim f(x)= o0, lim g(x) = o0;(2)在点α的某去心邻域内,f'(x)与g(x)存在，且g(x)≠0 ;f'(x)(3) lim存在（或为无穷大）：→ag(x)f(x)f(x)limlim则（或为无穷大），x-a g'(x)g(x)x-→a
洛必达法则 (1) lim ( ) , lim ( ) x a x a f x g x → → = = ； (2) 在点 a 的某去心邻域内， f x ( ) 与 g x ( ) 存在，且 g x ( ) 0 ； (3) 存在（或为无穷大）. ( ) lim ( ) x a f x → g x 则 （或为无穷大）. ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x a x a f x f x → → g x g x = 二、未定式 定理2 设函数 f x g x ( ), ( ) 满足条件