西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）习题课——正交矩阵的性质（讲课：杨忠鹏）

高等代数习题课正交矩阵的性质讲课：杨忠鹏制作：林志兴杨忠鹏2003.06.05

高等代数 习题课 正交矩阵的性质 讲课：杨忠鹏 制作：林志兴 杨忠鹏 2003.06.05

习题课正交矩阵的性质一、正交矩阵的定义及简单性质二、有限维欧氏空间里的正交矩阵三、正交矩阵的特征根

习题课 正交矩阵的性质 一、正交矩阵的定义及简单性质 二、有限维欧氏空间里的正交矩阵 三、正交矩阵的特征根

正交矩阵的定义及简单性质1定义 ＡRx，若AＡ=E 称Ａ为正交矩阵2运算性质①正交矩阵之积为正交阵②正交矩阵的转置为正交阵③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵问题①正交矩阵之和？②数乘正交矩阵？习题课正交矩阵的性质

习题课 正交矩阵的性质 一、正交矩阵的定义及简单性质 问题 ①正交矩阵之和？ n n A R  1 定义  ， 若 A' A = E 称 A 为正交矩阵 2 运算性质 ①正交矩阵之积为正交阵 ②正交矩阵的转置为正交阵 ③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵 ②数乘正交矩阵？

3正交矩阵的判定AAE RnxnA =(a,) =(α1,α2,..,αn)=(β.)①A为正交矩阵 A=A-1[1, i= j,i, j =1,2,..,n②A为正交矩阵α'α,=[0, i ],[1, i=j,,j =1,2,,n③A为正交矩阵β,β=[0, i± j,国习题课正交矩阵的性质

习题课 正交矩阵的性质 n n n A ai j n R                 = = =         2 1 1 2 ( ) ( , , , )    =  =  = i j n i j i j i j , 1,2, , 0, , 1, , ③ A为正交矩阵   '     =  =  = i j n i j i j i j , 1,2, , 0, , 1, , ② A为正交矩阵  '  1 ' − ① A为正交矩阵  A = A 3 正交矩阵的判定

问题：①la.|的上界？Vi②la,|的上界？Vi,j③当某lα=1 时，α=？ αj=？ ji④元素 α，与其余子式 M，代数余子式 A的关系如何？习题课正交矩阵的性质

习题课 正交矩阵的性质 的关系如何？ ij a ④ 元素 与其余子式 M ij ，代数余子式 Aij | | 1 0 0 ai i = a j i i j = ? ji = ?  0 0 ③ 当某 时，  | | ② aij 的上界？ i, j | | 问题：① aii 的上界？ i

一、有限维欧氏空间里的正交矩阵1矩阵AεR"xn，则A为正交矩阵一A的行（列）向量组是n维行（列）向量空间 R"的一组标准正交基。习题课正交矩阵的性质

习题课 正交矩阵的性质 二、有限维欧氏空间里的正交矩阵 n 空间 R 的一组标准正交基。 A为正交矩 阵  A的行（列）向量组是n 维行（列）向量 n n A R  1 矩阵  ，则

2n维欧氏空间 V,(R)的一组标准正交基 (si,82,…,s,,矩阵A=Rnxn满足(n1,n2.,n.)=(c1,82,..,8.)A则ni,n2.,nn为标准正交基A为正交矩阵习题课正交矩阵的性质

习题课 正交矩阵的性质 2 n维欧氏空间 Vn (R) 的一组标准正交基  1 , 2 ,  , n  ， 矩阵 满足 n n A R   ( , , , ) 1 2  n 1 2 ( , , , ) =    n A 则 1 ,2 ,  ,n  为标准正交基  A为正交矩阵

3A为n维欧氏空间V,(R)的线性变换，(g,ε2,,s,）是一组标准正交基，若A(e1,E2,..,E,) =(S,62,..,s,)A,Ae Rmn则A是正交变换一A为正交矩阵习题课正交矩阵的性质

习题课 正交矩阵的性质 A是正交变换  A为正交矩阵 则 标准正交基，若 V (R) 3 A为n维欧氏空间 n 的线性变换，  1 , 2 ,  , n  是一组 ( , , , ) 1 2 n     = ( 1 , 2 ,  , n )A n n A R  A ， 

4n维欧氏空间V（R）的正交变换的分类①A为第一类的(旋转)，若 A =1;②A为第二类的，若 A-1。习题课正交矩阵的性质

习题课 正交矩阵的性质 ② A为第二类的，若 A = −1 。 ① A为第一类的(旋转)，若 A = 1 ； V (R) 4 n维欧氏空间 n 的正交变换的分类

5 A为n维欧氏空间V,(R)的线性变换，si,&2,,s）为一组标准正交基,且 A(),E,-.5,)=(3),E2,.,8,)A , Ae Rmn则A为对称变换 A=A一 存在标准正交基(nr,n2,n,)是A的特征向量，即A在(ni,n2,,n,)下的矩阵为实对角矩阵^=diag（,2，.,)即(n1,n2,..,nn) =(s1,E2,..,8,)P使 P AP = P-I AP = ^= diag (,2,., an)习题课正交矩阵的性质

习题课 正交矩阵的性质 ( , , , ) P AP = P AP =  = diag 1 2  n −1 使 ' ( , , , ) 即 1 2  n = ( 1 , 2 ,  , n )P  = diag ( , , , ) 对角矩阵 1 2  n 向量，即A在 1 ,2 ,  ,n  下的矩阵为实  存在标准正交基 1 ,2 ,  ,n  是A的特征 A为对称变换  A' = A 则 ( , , , ) 1 2 n     = ( 1 , 2 ,  , n )A n n A R  标准正交基，且 A ，  V (R) 5 A为n维欧氏空间 n 的线性变换，  1 , 2 ,  , n  为一组