西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.5 对角矩阵

第七章线性变换S6线性变换的值域与核S1线性变换的定义S2线性变换的运算S7不变子空间s3线性变换的矩阵S8若当标准形简介S4特征值与特征向量89最小多项式s5对角矩阵小结与习题

§2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 §7不变子空间 小结与习题 第七章 线性变换 §5 对角矩阵

$ 7.5对角矩阵一、可对角化的概念二、可对角化的条件三、对角化的一般方法87.5对角矩阵

§7.5 对角矩阵 一、可对角化的概念 二、可对角化的条件 §7.5 对角矩阵 三、对角化的一般方法

，可对角化的概念定义1：设α是n维线性空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换可对角化定义2：矩阵A是数域P上的一个n级方阵.如果存在一个P上的n级可逆矩阵X，使X-IAX为对角矩阵，则称矩阵A可对角化87.5对角矩阵K

§7.5 对角矩阵 定义1：设  是 n 维线性空间V的一个线性变换， 如果存在V的一个基，使  在这组基下的矩阵为对 角矩阵，则称线性变换  可对角化. 矩阵，则称矩阵A可对角化. 定义2：矩阵A是数域 P 上的一个 n 级方阵. 如果 存在一个 P 上的 级可逆矩阵 ，使 为对角 1 X AX − n X 一、可对角化的概念

二、可对角化的条件1.（定理7)设α为n维线性空间V的一个线性变换则可对角化台有n个线性无关的特征向量证：设在基61,826n下的矩阵为对角矩阵22A则有08,=2,8,,i=1,2,.….n..81,82，8就是的n个线性无关的特征向量，87.5对角矩阵

§7.5 对角矩阵 1. (定理7)设  为 n 维线性空间V的一个线性变换， 则  可对角化   有 n 个线性无关的特征向量. 证：设  在基    1 2 , , n 下的矩阵为对角矩阵 1 2 n              则有 , 1,2, . i i i    = =i n 二、可对角化的条件 1 2 , , n    就是 的n个线性无关的特征向量

反之，若有n个线性无关的特征向量,n2,nn那么就取n,n2，,nn为基，则在这组基下α的矩阵是对角矩阵2.（定理8)设α为n维线性空间V的一个线性变换，如果,52,…5分别是的属于互不相同的特征值,22,…k的特征向量，则1,52,5线性无关证：对k作数学归纳法，当k=1时，：±0，：5i线性无关.命题成立.87.5对角矩阵区区

§7.5 对角矩阵 反之，若  有 n 个线性无关的特征向量 1 2 , , , ,   n 那么就取    1 2 , , , n 为基，则在这组基下  的矩阵 是对角矩阵. 2. (定理8)设  为n维线性空间V的一个线性变换, 如果    1 2 , , k 分别是  的属于互不相同的特征值 1 2 的特征向量，则 线性无关. , ,   k 1 2 , , k    证：对k作数学归纳法. 当 k = 1 时， 1 1 线性无关. 命题成立.     0

假设对于k-1来说，结论成立．现设,，为α的互不相同的特征值，Si是属于2：的特征向量，即 Jo5, =,5, i=1,2,..,n.a,ep①设 a+a+...+as=0,以,乘①式的两端，得②a+a+.a=0.又对①式两端施行线性变换，得③a+a+.a=087.5对角矩阵区区

§7.5 对角矩阵 假设对于 k − 1 来说，结论成立. 现设    1 2 , , k 为  的互不相同的特征值，  i 是属于 i 的特征向量， 即 1,2, , . i i i    = = , i n 以 k 乘①式的两端，得 1 1 2 2 0. k k k k k a a a       + + = ② 设 1 1 2 2 0, k k i a a a a P    + + + =  ① 又对①式两端施行线性变换  ，得 1 1 1 2 2 2 0. k k k a a a       + + = ③

③式减②式得a( - +a( -2 + ...ak-1(k-1-)k-1 = 0由归纳假设，51,52,5k-1线性无关，所以a,(a, -a)= 0, i=1,2,...,k-1.但 ,,,互不相同，所以= =….=a-=0.将之代入①，得 =0，α=0: S±0,故51，52，,5k线性无关.87.5对角矩阵区区

§7.5 对角矩阵 ③式减②式得 1 1 1 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 k k k k k k a a a          − + − + − = − − − 由归纳假设，    1 2 1 , , k− 线性无关，所以 ( ) 0, 1,2, , 1. i i k a i k   − = = − 但    1 2 , , , k 互不相同，所以 1 2 1 0. k a a a = = = = − 将之代入①，得 0. k k a  = 0, 0 k k    = a 故    1 2 , , , k 线性无关

3.（推论1）设α为n维线性空间V的一个线性变换，如果的特征多项式在数域P中有n个不同特征值，则可对角化.特别地，(推论2)在复数域C上的线性空间中，如果线性变换?的特征多项式没有重根，则可对角化.$7.5对角矩阵A

§7.5 对角矩阵 特别地，(推论2) 在复数域C上的线性空间中， 3. (推论1) 设  为n维线性空间V的一个线性变换， 则  可对角化. 如果线性变换  的特征多项式没有重根，则  可 如果  的特征多项式在数域P中有n个不同特征值， 对角化

4.（定理9设为线性空间V的一个线性变换，,2,是的不同特征值，而i,i2,…i,是属于特征值，的线性无关的特征向量，i=1,2,,k,则向量S1,,Si,,5k1,5k,线性无关证明：首先，α的属于同一特征值孔.的特征向量的非零线性组合仍是的属于特征值孔.的一个特征向量.7.5对角矩阵A

§7.5 对角矩阵 特征值 i 的线性无关的特征向量， i k = 1,2, , , 则向量 线性无关. 1 11 1 1 , , , , , , k r k kr     4. (定理9) 设  为线性空间V的一个线性变换，    1 2 , , k 是  的不同特征值，而    i i ir 1 2 , , i 是属于 证明：首先，  的属于同一特征值 i 的特征向量 的非零线性组合仍是  的属于特征值 i 的一个特征 向量

=0,设auSu +...+ai,Si, +...+anShi +..+akn SkYal,"air,""ah,,a, P.令n;=an5in +...+ai,Sin,i=1,2,..,k.由④有,n+n2+...+n=0.若有某个 n;0，则 ni是的属于特征值,的特征向量．而,，是互不相同的，由定理8，必有所有的 n; =0,i=1,2,…,k.87.5对角矩阵KV

§7.5 对角矩阵 1 11 1 1 , , , , , , . k r k kr a a a a P  令 1 1 , 1,2, , . i i i i i ir ir    = + + = a a i k 由④有， 1 2 0.    + + + =k 设 1 1 11 11 1 1 1 1 0, k k r r k k kr kr a a a a     + + + + + + = ④ 若有某个   i i  0, 则 是  的属于特征值 i 的 特征向量. 而    1 2 , , k 是互不相同的，由定理8， 必有所有的 0, 1,2, , . i  = =i k