西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.2 线性变换的运算

第七章线性变换S6线性变换的值域与核S1线性变换的定义S2线性变换的运算S7不变子空间s3线性变换的矩阵S8若当标准形简介S4特征值与特征向量89最小多项式85对角矩阵小结与习题

§2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 §7不变子空间 小结与习题 第七章 线性变换 §5 对角矩阵

S 7.2线性变换的运算一、线性变换的乘积线性变换的和二、三、纟线性变换的数量乘法四、乡线性变换的逆五、纟线性变换的多项式67.2线性变换的运算人

§7.2 线性变换的运算 一、线性变换的乘积 二、线性变换的和 §7.2 线性变换的运算 三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式

线性变换的乘积1. 定义设,T为线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积ot为:(αt)(α)=((α),VαV则oT也是V的线性变换事实上, (t)(α+β)=(t(α+β)=(t(α)+(β)=α(t(α)+α(t(β) = (t)(α) +(αt)(β),(ot)(kα) =α(t(kα) = α(kt(α) = ko(t(α) = k(ot)(α)87.2线性变换的运算区区

§7.2 线性变换的运算 1．定义 设  , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 事实上， ( )( ) ( ( )) ( ( ) ( ))             + = + = + 一、 线性变换的乘积 的乘积  为： (      )( ) =   ( ( )), V 则  也是V的线性变换. = + = +           ( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ), ( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( )              k k k k k ====

2.基本性质(αt)8 =(t8)（1）满足结合律：（2）E=E=，E为单位变换（3）交换律一般不成立，即一般地，OT + tO.87.2线性变换的运算

§7.2 线性变换的运算 ２．基本性质 （1）满足结合律： (    ) = ( ) （2） E E    = = ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，   

例1.线性空间R[x]中，线性变换D(f(x)= f'(x)J((x)=J, f(t)dt(DJ)(f(x)= D(J, (t)dt)= (x), 即 DJ = E.而,(JD)(F(x))= J(f'(x)= f f(t)dt = f(x)- f(0).. DJ ± JD.67.2线性变换的运算区区

§7.2 线性变换的运算 例1. 线性空间 R x[ ] 中，线性变换 D f x f x ( ( )) = ( ) ( )( ( )) ( ( ) ) ( ) 0 , x DJ f x D f t dt f x = =  ( )( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 0 0 x JD f x J f x f t dt f x f = = = −    而，   DJ JD. ( ( )) ( ) 0 x J f x f t dt =  即 DJ E =

例2.设A、BεPmx为两个取定的矩阵，定义变换o(X)= AX,VX e puxnT(X) = XB,则o, 皆为pnxn 的线性变换，且对VXe Pnxn,有(αt)(X) = α(t(X) = (XB) = A(XB) = AXB,(tTo)(X) = t(α(X) = t(AX) = (AX)B = AXB.. ot = to.87.2线性变换的运算A

§7.2 线性变换的运算  ( ) , X AX = 例2. 设A、B 为两个取定的矩阵，定义变换 n n P   则  , 皆为 P n n 的线性变换，且对   X Pn n , 有 ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ,     X X XB A XB AXB = = = = ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) .     X X AX AX B AXB = = = =  ( ) , X XB = n n X P     =  

线性变换的和1. 定义设,T为线性空间V的两个线性变换，定义它们的和为: (α)(α)=(α)+(α),αV则α+t也是V的线性变换。事实上， (+)(α+β)=(α+β)+(α+β)=(α)+()+t(α)+t(β) =(+t)(α)+(+t)(β)(α +t)(kα) = (kα)+ t(kα) = ko(α)+kt(α)= k(α(α) + t(α) = k(α + t)(α).87.2线性变换的运算A

§7.2 线性变换的运算 则   + 也是V的线性变换. 二、 线性变换的和 1．定义 设  , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的和   + 为： (        + = +   )( ) ( ) ( ), V 事实上， ( )( ) ( ) ( )           + + = + + + = + + + = + + +               ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )            + = + = + k k k k k = + = + k k ( ( ) ( )) ( )( ).       

2.基本性质（1）满足交换律：+T=+(2）满足结合律：（+)+=+(+)（3）0+α=+0=,0为零变换，（4）乘法对加法满足左、右分配律：(t+8)=ot +os(t +8)α = to +8o87.2线性变换的运算A

§7.2 线性变换的运算 （3） 0 0 , + = + =    0为零变换. （4）乘法对加法满足左、右分配律：      ( + = + ) (     + = + ) 2．基本性质 （1）满足交换律：     + = + （2）满足结合律： (      + + = + + ) ( )

3.负变换设为线性空间V的线性变换，定义变换一α为：VαeV(-α)(α)=-α(α),则一α也为V的线性变换，称之为α的负变换注：(-)+=087.2线性变换的运算A

§7.2 线性变换的运算 (− = −        )( ) ( ), V 3．负变换 设  为线性空间V的线性变换，定义变换 − 为： 则 − 也为V的线性变换，称之为  的负变换. 注： ( ) 0 − + =  

三、线性变换的数量乘法1.定义设为线性空间V的线性变换，keP，定义k与的数量乘积ko为：VaEV(ko)(α)= ko(α),则ko也是V的线性变换67.2线性变换的运算

§7.2 线性变换的运算 (k k V      )( ) =   ( ), 三、 线性变换的数量乘法 1．定义 的数量乘积 k 为： 则 k 也是V的线性变换. 设  为线性空间V的线性变换， k P  , 定义k与 