第七章线性变换S6线性变换的值域与核S1线性变换的定义S2线性变换的运算S7不变子空间s3线性变换的矩阵S8若当标准形简介S4特征值与特征向量89最小多项式85对角矩阵小结与习题
§2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 §7不变子空间 小结与习题 第七章 线性变换 §5 对角矩阵
s 7.1线性变换的定义线性变换的定义一二、线性变换的简单性质S7.1线性变换的定义
§7.1 线性变换的定义 一、线性变换的定义 二、线性变换的简单性质 §7.1 线性变换的定义
引入在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种保持向量的加法和数量乘法的一一对应．我们常称两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性映射。本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射线性变换87.1线性变换的定义A2
§7.1 线性变换的定义 引入 在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种 保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称 线性变换. 映射. 本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射 两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性
线性变换的定义设V为数域P上的线性空间，若变换α:V→V满足:Vα,βeV,kEPo(α+β)=α(α)+α(β)o(kα)= ko(α)则称为线性空间V上的线性变换67.1线性变换的定义
§7.1 线性变换的定义 一、 线性变换的定义 设V为数域P上的线性空间，若变换 :V V → 满足： , , V k P (k k ) = ( ) 则称 为线性空间V上的线性变换. ( + = + ) ( ) ( )
注：几个特殊线性变换单位变换(恒等变换)：E:V→V，αα，VαEV零变换: 0:V→V,α0,VαeV由数k决定的数乘变换:K:V→V，αkα，VαeV事实上,Vα,βeV, VmEP,K(α+β)=k(α+β)= kα+kβ= K(α)+ K(β),K(mα)= kmα = mkα = mK(α).87.1线性变换的定义区区
§7.1 线性变换的定义 注：几个特殊线性变换 由数k决定的数乘变换： K V V k V : , , → 事实上， , , , V m P K k k k K K ( + = + = + = + ) ( ) , ( ) ( ) K m km mk mK ( ) = = = ( ). 单位变换(恒等变换)： E V V V : , , → 零变换： 0 : , 0, V V V →
例1.V=R(实数域上二维向量空间)，把V中每一向量绕坐标原点旋转角，就是一个线性变换，用T。表示，即()-()T : R?→R",(cr o)(r这里，Isine易验证：Vα,βeR,VkeRT(α+ β)= T(α)+ T.(β)T(kα)=kT(α)7.1线性变换的定义V
§7.1 线性变换的定义 例1. V R = 2 (实数域上二维向量空间)，把V中每 一向量绕坐标原点旋转 角，就是一个线性变换， 用 T 表示，即 ( ) ( ) 2 2 : , x x T R R y y → 这里， 易验证： T T T ( ) ( ) ( ) + = + T k kT ( ) ( ) = 2 , , R k R ( ) ( )( ) cos sin sin cos x x y y − =
例2．V=R3，αεV为一固定非零向量，把V中每一个向量变成它在α上的内射影是V上的一个线性变换．用II表示，即(α,5)VEER3II:R3→R, α(α,α)这里(α,),(α,α)表示内积.S易验证： V,neR,VkeRII(5+n)=II(5)+II(n)II.()aI ()=Iα()87.1线性变换的定义
§7.1 线性变换的定义 例2． V R V = 3 , 为一固定非零向量，把V中每 一个向量 变成它在 上的内射影是V上的一个线 3 3 3 ( , ) : , , ( , ) R R R → 性变换. 用 表示，即 这里 表示内积. ( , ),( , ) 易验证： ( ) ( ) ( ) + = + (k k ) ( ) = 3 , , R k R ( )
例3.V=P[x]或P[x],上的求微商是一个线性变换，用D表示，即D:V→V, D(f(x)= f'(x), Vf(x)eV例4.闭区间[a,b]上的全体连续函数构成的线性空间C(a,b)上的变换J :C(a,b)→C(a,b), J(f(x)=f f(t)dt是一个线性变换67.1线性变换的定义
§7.1 线性变换的定义 例3．V P x P x = [ ] [ ] 或 n 上的求微商是一个线性变换， 用D表示，即 D V V D f x f x f x V : , ( ( )) ( ), ( ) → = 例4. 闭区间 [ , ] a b 上的全体连续函数构成的线性空间 : , , , ( ) ( ) ( ( )) ( ) x a J C a b C a b J f x f t dt → = 是一个线性变换. C a b ( , ) 上的变换
二、线性变换的简单性质1．α为V的线性变换，则(0)=0, α(-α)=-α(α)2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即若β=k,α,+k,α,+...+k,αr,则 α(β) = k,o(α) +k,o(α,)+... + k,α(α,).3.．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关的向量组.即S7.1线性变换的定义会
§7.1 线性变换的定义 1． 为V的线性变换，则 (0) 0, ( ) ( ). = − = − 2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若 1 1 2 2 , r r = + + + k k k 则 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). r r = + + + k k k 3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 二、 线性变换的简单性质 的向量组. 即
若α1,α2,"",α,线性相关，则α(α),α(α),",α(α,)也线性相关事实上，若有不全为零的数ki,k2,,k,使kjai +k,α, +...+k,α, = 0则由2即有, k,α(α,)+ k,α(αz)+...+ k,α(α,)=0注意：3的逆不成立，即(α),(αz),(α)线性相关，α,α2,,α未必线性相关事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组.如零变换S7.1线性变换的定义区
§7.1 线性变换的定义 若 1 2 , , , r 线性相关，则 ( 1 2 ), , , ( ) ( r ) 也线性相关. 事实上，若有不全为零的数 k k k 1 2 , , , r 使 1 1 2 2 0 r r k k k + + + = 则由2即有， 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0. r r k k k + + + = 线性相关的向量组. 如零变换. 事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成 注意：3的逆不成立，即 ( 1 2 ), , , ( ) ( r ) 线性相关， 1 2 未必线性相关. , , , r