西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第五章 二次型 5.4 正定二次型

第五章二次型s5.1二次型的矩阵表示标准形$5.2唯一性$5.3$5.4正定二次型章小结与习题

第五章 二次型 §5.1 二次型的矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型 章小结与习题

$ 5.4正定二次型正定二次型二、正定矩阵三、n元实二次型的分类四、小结85.4正定二次型

§5. 4 正定二次型 一、正定二次型 二、正定矩阵 三、n元实二次型的分类 §5.4 正定二次型 四、小结

一、正定二次型1、定义：实二次型f(xi,X2..…,xn）若对任意一组不全为零的实数Cj,C2,...,Cn都有f(ci,C2....cn) >0则称f为正定二次型如，二次型f(x,X2...,xn)=x是正定的；i=1一但二次型 (x1,x2.…,x,)=x不不是正定的.i-185.4正定二次型A

§5. 4 正定二次型 一 、正定二次型 则称f 为正定二次型. 1 2 ( , , , ) 0 n f c c c  如，二次型 是正定的； 2 1 2 1 ( , , , ) n n i i f x x x x = =  1 2 1 2 1 ( , , , ) n n i i f x x x x − = =  一组不全为零的实数 c c c 1 2 , , , n 都有 1、定义：实二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 若对任意

2、正定性的判定1）实二次型XAX正定VX ER",若X±0,则XAX>02）设实二次型f(xi,x2....xn)=dx +d,x? +...+d.x.f正定d,>0,i=1,2,,n证：充分性显然下证必要性，若f正定，取X, =(0,...,0, 1,0.....0),i = 1,2,..,n则 f(X,)=d,x, >0,.. d, >0,i=1,2,..,n$5.4正定二次型K

§5. 4 正定二次型 2、正定性的判定 1）实二次型 X AX 正定 , 0 n      X R X AX 若X 0,则  2）设实二次型 f 正定 0, 1,2, ,   = d i n i 证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x d x d x d x = + + + 则 2 0 ( ) 0, 0, 1,2, , i i i f X d x d i n =    = 0 ( ) (0, ,0, 1,0, ,0) , 1,2, , i X i n = = 

3）非退化线性替换不改变二次型的正定性证明：设正定二次型 f(xj,X2,..,x,)= X'AX经过非退化线性替换X=CY化成f(xi,X2...,xn) = Y'(C'AC)Y = g(yi,J2..., yn)任取一组不全为零的数ki,k2....,k,，令WciS...Yo则,X,=CY。=二cnf(c1,C2....cn) = XAX, = Y,'(C'AC)Y, = g(ki,k2.... k.)85.4正定二次型区区

§5. 4 正定二次型 经过非退化线性替换 X＝CY 化成 则， 3）非退化线性替换不改变二次型的正定性. 1 1 2 2 0 , , 0 0 Y Y n n k c k c X C k c         = = =             1 2 1 2 ( , , , ) ( ) ( , , , ) n n f x x x Y C AC Y g y y y = =   1 2 0 0 0 0 1 2 ( , , , ) ( ) ( , , , ) n n f c c c X AX Y C AC Y g k k k  = = =   任取一组不全为零的数 k k k 1 2 , , , , n 令 证明：设正定二次型 1 2 ( , , , ) n f x x x X AX = 

又由于C可逆,Y。≠0，所以X。≠0,即C,C..…….Cn不全为.... g(ki,k2...,.kn)= f(ci,C2....cn) >0.. g(yi,y2...,yn)正定.反之，实二次型g(yi,J2.…,yn)可经过非退化线性替换Y=C-1X变到实二次型f(xj,X2.,x),同理，若g正定，则f正定，所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性85.4正定二次型会

§5. 4 正定二次型 所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性. 又由于C可逆， Y  0 0 ，所以 X  0, 0 同理，若 g 正定，则 f 正定. 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 0 n n  =  g k k k f c c c 1 2 ( , , , ) n  g y y y 正定. 反之，实二次型 g y y y ( , , , ) 1 2 n 可经过非退化 即 不全为0. 1 2 , , , n c c c 线性替换 变到实二次型 1 2 ( , , , ), n Y X f x x x - 1 = C

(定理5）n元实二次型f(xj,x2....,x,)正定4秩f=n=p（f的正惯性指数）：证：设f(x,x2..,x,)经非退化线性替换X=CY变成标准形f(xi,x2...,xn)=dy +d2y? +...+d,y?由2),f正定←d,>0,i=1,2,,n即，f 的正惯性指数p=n秩f.85.4正定二次型KV

§5. 4 正定二次型  秩 f ＝n＝ p （ f 的正惯性指数）. 4）(定理5) n元实二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 正定 证：设 f x x x ( , , , ) 1 2 n 经非退化线性替换 X CY = 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x d y d y d y = + + + 变成标准形 由2), f 正定  0, 1,2, , d i n i  = 即， f 的正惯性指数p＝n＝秩 f

5正定二次型f(x,z…,x）的标准形为dy?+dzy2?+...+dnyn, i>0, i=1,2,.*,n规范形为+z?+.+z?.35.4正定二次型A

§5. 4 正定二次型 规范形为 2 2 2 1 2 . n z z z + + + 2 2 2 1 1 2 2 , 0, 1,2, , n n d y d y d y i i n + + +  = 5）正定二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 的标准形为

二、正定矩阵设A为实对称矩阵，若二次型X'AX1、定义是正定的，则称A为正定矩阵2、正定矩阵的判定1）实对称矩阵A正定台A与单位矩阵E合同：正定二次型的规范形为z？+z+·+z2=Z'EZX2）实对称矩阵A正定可见，正定矩阵是可逆矩阵台存在可逆矩阵C，使A=CC：A与E合同,即存在可逆矩阵C，使A=C'EC=C'C85.4正定二次型区区

§5. 4 正定二次型 二、正定矩阵 1、定义 设A为实对称矩阵，若二次型 X AX 正定二次型的规范形为 2 2 2 1 2 n z z z Z EZ + + + =  是正定的，则称A为正定矩阵. 2、正定矩阵的判定 2) 实对称矩阵A正定 1）实对称矩阵A正定  A与单位矩阵E合同. A与E合同,即存在可逆矩阵C，使 A C EC C C = =   可见，正定矩 存在可逆矩阵 阵是可逆矩阵.  C，使 A C C = 

3实对称矩阵A正定A与任一正对角矩阵合同(d)d,：若D=d, >0, i=1,2,..,ndn)为任一正对角矩阵，则JaVaJa,d,D=d.即，D与E合同.85.4正定二次型区

§5. 4 正定二次型 3）实对称矩阵A正定  A与任一正对角矩阵合同. 即，D与E合同. 为任一正对角矩阵，则 若 1 2 , 0, 1,2, , i n d d D d i n d     =  =       1 1 2 2 1 1 1 n n d d d d D d d             =                      