第六章线性空间S5线性子空间S1集合·映射86子空间的交与和S2线性空间的定义与简单性质S7子空间的直和S3维数·基与坐标s8线性空间的同构S4基变换与坐标变换小结与习题
§2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 小结与习题 第六章 线性空间
S 6.4 基变换与坐标变换一、向量的形式书写法基变换二、三、坐标变换86.4基变换与坐标变换
§6.4 基变换与坐标变换 一、向量的形式书写法 二、基变换 §6.4 基变换与坐标变换 三、坐标变换
引入我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基：V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的s6.4基变换与坐标变换V
§6.4 基变换与坐标变换 引入 我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性 无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任 一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在 不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问 题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的 坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要 知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系， 即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的
一、向量的形式书写法1、V为数域P上的n维线性空间，αj,α2，,αn为V中的一组向量，βeV，若β=xai+x,α,+...+xnαn则记作Xiβ= (α1,α2,""",αn)(xn）$6.4基变换与坐标变换V
§6.4 基变换与坐标变换 一、向量的形式书写法 1、V为数域 P上的 n维线性空间， 1 2 , , , n 为 V中的一组向量， V ，若 1 1 2 2 n n = + + + x x x 则记作 1 2 1 2 ( , , , ) n n x x x =
2、V为数域P上n维线性空间，αj,α2,αn；β,β,βn为V中的两组向量，若β, = aiia + a2iα, +.. + ananβ,=ai2α,+a22αz+...+an2αnβn =aina, +azna, +...+annan则记作aua12ana22a2na21(βr,β2,""",βn)=(αj,αz,""",αn)anian2ann86.4基变换与坐标变换
§6.4 基变换与坐标变换 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n a a a a a a a a a = + + + = + + + = + + + 则记作 2、V为数域 P上 n维线性空间， 1 2 , , , n ； 1 2 , , , n 为V中的两组向量，若 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n nn a a a a a a a a a =
注：在形式书写法下有下列运算规律1)a,,a.,".,an eV,a,a,,..,an,b,b,,...,b, ePa, +b,aaz+b,+(α,α2,..,an)= (α,α2,",an)(aj,α2,"",an):(an+b若α,αz,…,α线性无关，则(a)6aa2=(α1,α2介(a,α2,..",αn)αnTbnanan86.4基变换与坐标变换区区
§6.4 基变换与坐标变换 在形式书写法下有下列运算规律 1) 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , n n n V a a a b b b P 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n n a b a b a b a b a b a b + + + = + 若 1 2 , , , n 线性无关，则 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n a b a b a b a b a b a b = = 注：
2）αi,αz,",αβ,β2,",β为V中的两组向量，矩阵 A,Be pmn，则(α1,α2,".,αn)A)B = (α1,α2,"",αn)(AB);(αj,α2,"",αn)A+ (αj,α2,"",αn)B=(αi,α2,..,αn)(A+ B);(α1,α2,*,αn)A+(β,β2,..,β.)A=(α, +βr,α, + β2,"",αn + βn)A :若αj,αz,…,α,线性无关，则(α1,α2,"*-,αn)A= (α1,α2,",αn)B A = B.86.4基变换与坐标变换A
§6.4 基变换与坐标变换 2) 1 2 , , , n ； 1 2 , , , n 为V中的两组向量， 矩阵 , ，则 n n A B P 1 2 1 2 (( , , , ) ) ( , , , )( ) n n A B AB = ； 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n A B + ； 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n A A + ； 1 1 2 2 ( , , , ) = + + + n n A 若 1 2 , , , n 线性无关，则 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) . n n A B A B = = 1 2 ( , , , )( ) = + n A B
二、基变换1、定义设V为数域P上n维线性空间，8182，8；",c2,,，为V中的两组基，若e' =aei +a1e2 +... +anen82 =a1281 +a2282 +...+an2en1e" =ainei +a2ne, +..+annen即,$6.4基变换与坐标变换V
§6.4 基变换与坐标变换 1、定义 设V为数域P上n维线性空间， 1 2 , , , n ； 1 2 , , , n 为V中的两组基，若 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n a a a a a a a a a = + + + = + + + = + + + ① 即， 二、基变换
aua12a21 a22a2n(8",e2,...,6')=(81,82,..,8n)②anan2ann.anaina12.azna21 a22A=则称矩阵(anan...ann)为由基81,82,…,8n到基6",62,,8的过渡矩阵称①或②为由基1,82,,8到基",,…,'的基变换公式，86.4基变换与坐标变换K
§6.4 基变换与坐标变换 则称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = 为由基 1 2 , , , n 到基 1 2 , , , n 的过渡矩阵； 称 ① 或 ② 为由基 1 2 , , , n 到基 1 2 , , , n 的基变换公式． 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n nn a a a a a a a a a = ②
2、有关性质1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵。证明：若αi,αz,"",αn；β,βz,"…,βn为V的两组基且由基ααz,,α,到β,βz,,β的过渡矩阵为A，?即(βr,β2,.",β,) =(αj,α2,...,αn)A又由基β,β2,…,β,到α,αz,",α也有一个过渡矩阵,设为B,即(αi,α2,"",αn)=(β,β2,…",β,)B④比较③、④两个等式，有86.4基变换与坐标变换区区
§6.4 基变换与坐标变换 2、有关性质 1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵． 证明：若 1 2 1 2 , , , ; , , , n n 为V的两组基, 且由基 1 2 1 2 , , , , , , n n 到 的过渡矩阵为A， 即 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n = A 又由基 1 2 1 2 , , , , , , n n 到 也有一个过渡矩阵, 设为B，即 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n = B ③ ④ 比较③ 、④两个等式，有