第九章欧氏空间s6对称矩阵的标准形S1定义与基本性质S2标准正交基S7向量到子空间的距离一最小二乘法83同构S8酉空间介绍84正交变换小结与习题85子空间
§2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 §6 对称矩阵的标准形 §8酉空间介绍 §7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 小结与习题 第九章 欧氏空间 §5 子空间
s 9.1定义与基本性质欧氏空间的定义二欧氏空间中向量的长度三、欧氏空间中向量的夹角四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示五、E欧氏子空间S9.1定义与基本性质
§9.1 定义与基本性质 一、欧氏空间的定义 §9.1 定义与基本性质 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间
问题的引入：1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，其具体模型为几何空间R2、R3.但几何空间的度量性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质都可以通过内积反映出来：长度：α=Vα.αα:β夹角 ： cos=[αl/ β]3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质S9.1定义与基本性质区区
§9.1 定义与基本性质 问题的引入： 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及. 其具体模型为几何空间 R R 2 3 、 , 1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 但几何空间的度量 长度： = 都可以通过内积反映出来： , cos , 夹角 = ： 2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质 3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质
欧氏空间的定义1.定义设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个向量α、β，定义一个二元实函数，记作(α,β），若(α,β)满足性质：Vα,β,eV,VkER（对称性）1° (α,β)=(β,α)（数乘）2° (kα,β)= k(α,β)3° (α+β,)=(α,)+(β,)（可加性）4° (α,α)≥0,当且仅当α=0时(α,α)=0.（正定性）$9.1定义与基本性质区
§9.1 定义与基本性质 满足性质： , , , V k R 1 ( , ) ( , ) = 2 ( , ) ( , ) k k = 3 ( , ) , ( , ) + = + ( ) 4 ( , ) 0, 当且仅当 = 0 时 ( , ) 0. = 一、欧氏空间的定义 1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) （对称性） （数乘） （可加性） （正定性）
则称(α,β为α和β的内积，并称这种定义了内积的实数域R上的线性空间V为欧氏空间注：欧氏空间V是特殊的线性空间①V为实数域R上的线性空间;②V除向量的线性运算外，还有“内积”运算； (α,β)e R.89.1定义与基本性质K
§9.1 定义与基本性质 ① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算; ③ ( , ) . R 欧氏空间 V是特殊的线性空间 则称 ( , ) 为 和 的内积，并称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧氏空间. 注：
例1．在R"中，对于向量α=(a,a2,..,an), β=(b,bz,..,bn)(1)1)定义(α,β)=ab +a,b, +...+a,bn易证(α,β)满足定义中的性质1～4°所以，(α,β)为内积这样R"对于内积(α,β)就成为一个欧氏空间.当n=3时，1）即为几何空间R中内积在直角坐标系下的表达式．(α,β)即α·β．)69.1定义与基本性质
§9.1 定义与基本性质 例1．在 R n 中，对于向量 = = (a a a b b b 1 2 1 2 , , , , , , , n n ) ( ) 当 n = 3 时，1）即为几何空间 中内积在直角 3 ( R 坐标系下的表达式 . ( , ) . 即 ) 这样 对于内积 就成为一个欧氏空间. n R ( , ) 易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 4 ～ . 1）定义 1 1 2 2 ( , ) n n = + + + a b a b a b （1） 所以, ( , ) 为内积
2）定义(a,β)'=ab, +2a,b, +...+ka,b +...+na,b易证(α,β)满足定义中的性质1°～4°所以(α,β)也为内积.从而R"对于内积(α,β)也构成一个欧氏空间.注意：由于对Vα·βV,未必有(α,β)=(α,β)所以1），2）是两种不同的内积从而R"对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间S9.1定义与基本性质区区
§9.1 定义与基本性质 2）定义 1 1 2 2 ( , ) 2 k k n n = + + + + + a b a b ka b na b 从而 对于内积 也构成一个欧氏空间. n R ( , ) 由于对 V, 未必有 ( , ) ( , ) 注意： = 所以1），2）是两种不同的内积. 从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间. n R 易证 ( , ) 满足定义中的性质 ～ . 1 4 所以 ( , ) 也为内积
例2.C(a,b)为闭区间[a,b] 上的所有实连续函数所成线性空间，对于函数 f(x),g(x)，定义(f,g)= f' f(x)g(x) dx(2)则C(a,b)对于（2）作成一个欧氏空间证: V f(x),g(x), h(x)eC(a,b), VkeR1. (f,g)= f" f(x)g(x) dx = f"' g(x)f(x) dx =(g, J)2. (kf,g)= [" kf(x)g(x) dx =kf" f(x)g(x) dx= k(f,g)69.1定义与基本性质区区
§9.1 定义与基本性质 例2．C a b ( , ) 为闭区间 [ , ] a b 上的所有实连续函数 所成线性空间，对于函数 f x g x ( ), ( ) ，定义 ( , ) ( ) ( ) b a f g f x g x dx = （2） 则 C a b ( , ) 对于（2）作成一个欧氏空间. 证： f x g x h x C a b k R ( ), ( ), ( ) ( , ), 1 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) b b a a f g f x g x dx g x f x dx g f === 2 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a k f g k f x g x dx k f x g x dx = = = k f g ( , )
3. (f + g,h) =["(f(x)+ g(x)h(x) dx= J' f(x)h(x) dx+ f' g(x)h(x) dx=(f,h)+(g,h)4°. (f,J)= J' f(x)dx: (f,f)≥0.: f(x)≥0,且若 f(x)±0，则 f2(x)>0,从而(f,f)>0.故(f,J)=0αf(x)=0.因此，（f,g)为内积，C(a,b)为欧氏空间89.1定义与基本性质
§9.1 定义与基本性质 3 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a f g h f x g x h x dx + = + ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a = + f x h x dx g x h x dx = + ( , ) ( , ) f h g h 2 4 . ( , ) ( ) b a f f f x dx = 2 f x( ) 0, ( , ) 0. f f 且若 f x( ) 0, 则 2 f x( ) 0, 从而 ( , ) 0. f f 故 ( , ) 0 ( ) 0. f f f x = = 因此， ( , ) f g 为内积， C a b ( , ) 为欧氏空间
2.内积的简单性质V为欧氏空间，Vα,β,eV,VkeR1) (α,kβ)=k(α,β), (kα,kβ)=k"(α,β)2) (α,β+)=(α,β)+(α,)推广： (α,β)=(α,β)i-13)(0,β)=0S9.1定义与基本性质V
§9.1 定义与基本性质 ( ) 2 1) ( , ) ( , ), , ( , ) k k k k k = = 2) ( , ) ( , ) ( , ) + = + 推广： 1 1 ( , ) ( , ) s s i i i i = = = 3) (0, ) 0 = 2. 内积的简单性质 V为欧氏空间， , , , V k R