第九章欧氏空间S6对称矩阵的标准形S1定义与基本性质S2标准正交基S7向量到子空间的距离一最小二乘法83同构S8酉空间介绍S4正交变换小结与习题85子空间
§2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 §6 对称矩阵的标准形 §8酉空间介绍 §7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 小结与习题 第九章 欧氏空间 §5 子空间
同构S 9.3欧氏空间的同构二、同构的基本性质69.3同构
§9.3 同构 一、欧氏空间的同构 §9.3 同构 二、同构的基本性质
欧氏空间的同构一定义：实数域R上欧氏空间V与V称为同构的，如果由V到V有一个1一1对应，适合(α+β)=α(α)+α(β),1)2) (kα)=ko(α),Vα,βeV, VkeR3) (α(α),α(β)=(α,β),这样的映射α称为欧氏空间V到V的同构映射69.3同构A
§9.3 同构 一、欧氏空间的同构 定义：实数域R上欧氏空间V与V'称为同构的， 如果由V到V'有一个1－1对应 ，适合 1) ( ) ( ) ( ), + = + 2) ( ) ( ), k k = , , V k R 3) ( ), ( ) ( , ), ( ) = 这样的映射 称为欧氏空间V到V'的同构映射
二、同构的基本性质1、若α是欧氏空间V到V'的同构映射，则也是线性空间V到V'同构映射2、如果α是有限维欧氏空间V到V'的同构映射，dimV = dimv'.则3、任一n维欧氏空间V必与R"同构69.3同构
§9.3 同构 1、若 是欧氏空间V到V'的同构映射，则 也是 线性空间V到V'同构映射. 2、如果 是有限维欧氏空间V到V'的同构映射， 则 ' dim dim . V V = 3、任一 n 维欧氏空间V必与 同构. n R 二、同构的基本性质
证：设V为n维欧氏空间，8j,&2，,8n为V的一组标准正交基，在这组基下，V中每个向量α可表成X,ERα= X,e +X,e2 +...+Xnen,作对应 :V→R", o(α)=(xj,X2,",xn)易证α是V到R"的1-1对应。且α满足同构定义中条件1）、2）、3），故为由V到R"的同构映射，从而V与R"同构69.3同构区区
§9.3 同构 标准正交基， 证： 设V为 n 维欧氏空间， 1 2 , , , n 为V的一组 在这组基下，V中每个向量 可表成 1 1 2 2 , n n i = + + + x x x x R 作对应 1 2 : , ( ) ( , , , ) n V R x x x → = n 易证 是V到 的 对应. n R 1 1 − 且 满足同构定义中条件1）、2）、3）， 故 为由V到 的同构映射，从而V与 同构. n R n R
4、同构作为欧氏空间之间的关系具有：①反身性；②对称性；③传递性①单位变换I是欧氏空间V到自身的同构映射②若欧氏空间V到V"的同构映射是α，则α-1是欧氏空间V到V的同构映射事实上，α首先是线性空间的同构映射其次,对 Vα,βeV'，有(α,β)=(o(α-(α),o(α-"(β)=(α-(α),α-(β)：α-1为欧氏空间V'到V的同构映射.69.3同构
§9.3 同构 ①反身性；②对称性；③传递性. 4、同构作为欧氏空间之间的关系具有： ① 单位变换 IV 是欧氏空间V到自身的同构映射. ② 若欧氏空间V到V'的同构映射是 ，则 是 1 − 其次，对 , , V ' 有 ( , ) 事实上， 首先是线性空间的同构映射. 欧氏空间V'到V的同构映射. ( ) 1 1 ( ( )), ( ( )) − − = ( ) 1 1 ( ), ( ) − − = 为欧氏空间V'到V的同构映射. 1 −
③若o,t分别是欧氏空间V到V'、V"到V"的同构映射则o是欧氏空间V到V"的同构映射事实上，首先，o是线性空间V到V"的同构映射其次,对 Vα,βeV，有(to(α),to(β) =(t(o(α),t(o(β)=(α(α),α(β)=(α,β)：To为欧氏空间V到V"的同构映射69.3同构
§9.3 同构 ③ 若 , 分别是欧氏空间V到V' 、V'到V"的同构映射， 则 是欧氏空间V到V"的同构映射. 事实上，首先， 是线性空间V到V"的同构映射. ( ( ), ( )) = ( ( ), ( )) 其次，对 , , V 有 = ( ( ( )), ( ( ))) = ( , ) 为欧氏空间V到V"的同构映射
5、两个有限维欧氏空间V与V同构<> dimV = dimV".69.3同构
§9.3 同构 5、两个有限维欧氏空间V与V'同构 ' dim dim . V V =