西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第十章 双线性函数 10.4 对称双线性函数

第十章双线性函数s 10.1线性函数S10.2对偶空间$10.3双线性函数s10.4对称双线性函数

第十章 双线性函数 §10.1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数

s 10.4对称双线性函数对称双线性函数二、反对称双线性函数三、正交基四、双线性度量空间810.4对称双线性函数

§10.4 对称双线性函数 一、对称双线性函数 二、反对称双线性函数 §10.4 对称双线性函数 三、正交基 四、双线性度量空间

一、对称双线性函数1. 定义设f(α,β)为数域P上线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意向量α,β均有f(α,β)= f(β,α)则称f(α,β)为对称双线性函数810.4对称双线性函数

§10.4 对称双线性函数 一、 对称双线性函数 1. 定义 设 为数域P上线性空间V上的一个双线 性函数，如果对V中任意向量 均有 则称 为对称双线性函数. f ( , )    , f f ( , ) ( , )     = f ( , )  

2.对称双线性函数的有关性质命题1数域P上n维线性空间V上双线性函数是对称的（反对称的）台f(α,β）在V的任意一组基下的度量矩阵是对称的（反对称的）证：任取V的一组基81,82，,8nα=(e1,82,..,en)X, β=(81,62,..,en)Y.f(6,8,)=aij, A=(a,)则 f(α,β)=X'AY.810.4对称双线性函数A

§10.4 对称双线性函数 命题1 数域 P上n 维线性空间 V上双线性函数 是对称的（反对称的） 在V的任意 一组基下的度量矩阵是对称的（反对称的）.  f ( , )   证：任取V的一组基 1 2 , , , , n    1 2 1 2 ( , , , ) , ( , , , ) .         = = n n X Y ( , ) , ( ) i j ij ij f a A a   = = 则 f X AY ( , ) ' .   = 2. 对称双线性函数的有关性质

f(α,β)= f(β,α)α X'AY =Y'AX=(Y'AX)'= X'A'Y f(8),8,)= f(6j,6)aj =ajiA=A.同样 f(α,β)=-f(β,α)≤ f(8;,8,)=-f(8,8,)台X'AY=-Y'AX=-X'A'Y←A=-AS10.4对称双线性函数K

§10.4 对称双线性函数 f f X AY Y AX ( , ) ( , ) ' '     =  = ( , ) ( , ) i j j i  = f f     = = ( ' )' ' ' Y AX X A Y 同样 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) i j j i f f f f         = −  = −  = − = − X AY Y AX X A Y ' ' ' '  = A A'. ij ji  = a a  = − A A

例. f:VxV→P, (α,β)H f(α,β)=(α,β)f(α,β)=(α,β) =(β,α)= f(β,α)f(8),8,)=(8),8,).f(α,β)在81,82,",8n下的矩阵为((81,81) ... (81,8n)A=((en,e)) ... (en,en)A'=A且A为正定矩阵$10.4对称双线性函数A

§10.4 对称双线性函数 f f ( , ) ( , ) ( , ) ( , )         === ( , ) ( , ). i j i j f     = f ( , )   在    1 2 , , , n 下的矩阵为 1 1 1 1 ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) n n n n A           =       例. f V V P : ,  → ( , ) ( , ) ( , )       f = 且 A 为正定矩阵. ' A A =

设V是数域P上n维线性空间.f(α,β)定理5 是V上对称双线性函数，则存在一组基81,82,,n，使f(α,β)在这组基下的度量矩阵为对角形证：只需证能找到一组基si,82,…,8n，使f(8j,8)=0,i±j1) 若α,β f(α,β)=0, 则 f(s;,8,)=0.2）若f(α,β)不全为0，先证必有f(,)0.810.4对称双线性函数区区

§10.4 对称双线性函数 定理5 设V是数域P上n 维线性空间. 是V上对称双线性函数，则存在一组基 ，使 在这组基下的度量 矩阵为对角形. f ( , )   1 2 , , , n    f ( , )   证：只需证能找到一组基    1 2 , , , n ，使 ( , ) 0, i j f i j   =  1）若  =     , ( , ) 0, f 则 ( , ) 0. i j f   = 2）若 f ( , )   不全为0，先证必有 1 1 f ( , ) 0.   

否则，若αV,f(α,α)=0，则对Vα,βV有f(α,β)=_[f(α+β,α+β)- f(α,α)-f(β,β))=[0- 0-0]= 0.2所以这样的81是存在的对 dimV= n 用归纳法n=1 时成立.①假设≤n-1维数上述结论也成立.2将6扩充为V的一组基1,62,…,6n$10.4对称双线性函数V

§10.4 对称双线性函数 否则，若   =    V f , ( , ) 0, 则对    , V 有 1 ( , ) [ ( , ) ( , ) ( , )] 2 f f f f           = + + − − 1 [0 0 0] 0. 2 = − − = 所以这样的 1 是存在的.  对 dimV n = 用归纳法. ① n = 1 时成立. ② 假设  − n 1 维数上述结论也成立. 将  1 扩充为V的一组基 1 2 , , , . n   

f(e1,n;)i= 1,2,...,n.8'=ni令61f(,n)f(er,n;)61)= 0.则 f(6,8;)= f(6,nf(81,n)易证&j,6",…,6仍是V的一组基考察由&",83",8生成的线性子空间L(e2',e3',..",en)VαeL(c2,83',,8,), 有 f(61,α)= 0 且V = L(8) L(82',83,.",6n)S10.4对称双线性函数区区

§10.4 对称双线性函数1 1 1 1 ( , ) ' , 1,2, , . ( , ) i i i f i n f        令 = − = 则 1 1 1 1 ( , ) ( , ') ( , ) 0. ( , ) i i i i i f f f f          = − = 易证 1 2 仍是V的一组基. , ', , ' n    考察由    2 3 ', ', , ' n 生成的线性子空间 2 3 ( ', ', , ') L n    2 3 ( ', ', , '),       L n 有 f ( , ) 0  1 = 且 1 2 3 ( ) ( ', ', , ') V L L n =     

把f(α,β)看成L(c,,,,,)上的双线性函数，仍是对称的由归纳假设，L(c2",83",.…,8")有一组基62,,8nij.满足 f(8;,8,)=0i,j=2,3,...,n由于V = L(e)④ L(82',83 ',..-,en ).故ε1,82,,8,是V的一组基，且满足ij.f(6),8,)=0i,j=2,3,...,n$10.4对称双线性函数区区

§10.4 对称双线性函数 把 f ( , )   看成 L( ', ', , ')    2 3 n 上的双线性函数， 仍是对称的. 由归纳假设， 有一组基 满足 2 3 ( ', ', , ') L n    2 , , n   ( , ) 0 , 2,3, , . i j f i j n i j   = =  故    1 2 , , , n 是V的一组基，且满足 ( , ) 0 , 2,3, , . i j f i j n i j   = =  1 2 3 ( ) ( ', ', , '). V L L n 由于 =     