第9章线性变换及其特征
第9章 线性变换及其特征
9.1平面上线性变换的几何意义 ·例9.1设x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其四 个顶点的数据可写成 「0110 0 011 把不同的A矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果 y=A;*x。用程序ag911进行变换计算，并画出x及y:图形： x=[0,1,1,0;0,0,1,1] subplot(2,3,1),fill([x(1,),0],[x(2,),0],'r') A1=[-1,0;0,1],y1=A1*x subplot(2,3,2),fill([y1(1,),0],[y1(2,),0],'g)
9.1 平面上线性变换的几何意义 • 例9.1 设x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其四 个顶点的数据可写成 把不同的A矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果 yi=Ai*x。用程序ag911进行变换计算，并画出x及yi图形： x=[0,1,1,0;0,0,1,1]; subplot(2,3,1), fill([x(1,:),0],[x(2,:),0],'r') A1=[−1,0;0,1], y1=A1*x subplot(2,3,2), fill([y1(1,:),0],[y1(2,:),0],'g') … 0 1 1 0 0 0 1 1 = x
(ax=[0,1,1,0:0,0,1,1 (b)A1=[-1,0:0,1] (cA2=[1.5,0;0,1] 2 2 1 1 0 0 0 0 0 (d)A3=[1,0:0,0.5] (e)A4=[1,0.5;0,1](0A5=[cost),sint;-sint),cc 2 0 0 0
图 9.1 对单元方格进行几种线性变换后生成的图形
几种变换的行列式与特征值 a=d4)=-l=-11=[09] A=d4)=1s2=[10151-[90 0年det4)=02,3=0.21.0,p310 1.0-1.0 D4=det(A4)=1,24=[1 1p4-0. 0. 0.7071 0.7071 D,=125=[0.866+0.5i0.866-0.51]P0-07071i0+0,7071i
几种变换的行列式与特征值 1 2 3 4 1 0 det( ) 1, 1 1 , 0 1 0 1 det( ) 1.5, 1.0 1.5 , 1 0 0 1 det( ) 0.2, 0.2 1.0 , 1 0 1.0 1.0 det( ) 1, 1 1 , 0. D D D D = = − = − = = = = = = = = = − = = = = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 A λ p A λ p A λ p A λ p 5 0. 0.7071 0.7071 1, 0.866 + 0.5i 0.866 0.5i , 0 0.7071i 0 + 0.7071i D = = − = − 5 5 λ p
看出的基本关系 ·可以看出，矩阵A使原图对纵轴生成镜像，矩阵 A,使原图在横轴方向膨胀，矩阵A,使原图在纵轴 方向压缩，矩阵A使原图向右方剪切变形，矩阵 A,使原图沿反时针方向旋转=pi6。分别计算出这 五个矩阵的行列式和特征值， ·对二维空间（平面），行列式的几何意义实际上 是两个向量所构成的平行四边形的面积。一个变 换所造成的图形的面积变化，取决于该变换的行 列式。A1,A4和A的行列式绝对值都是1，所以它 们不会使变换后图形的面积发生改变。而A,和A3 的行列式分别为1.5和0.2
看出的基本关系 • 可以看出，矩阵A1使原图对纵轴生成镜像，矩阵 A2使原图在横轴方向膨胀，矩阵A3使原图在纵轴 方向压缩，矩阵A4使原图向右方剪切变形，矩阵 A5使原图沿反时针方向旋转t=pi/6。分别计算出这 五个矩阵的行列式和特征值， • 对二维空间（平面），行列式的几何意义实际上 是两个向量所构成的平行四边形的面积。一个变 换所造成的图形的面积变化，取决于该变换的行 列式。 A1 ,A4和A5的行列式绝对值都是1，所以它 们不会使变换后图形的面积发生改变。而A2和A3 的行列式分别为1.5和0.2
9.2二维矩阵特征值的几何意义 二维矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向 量的方向上的放大量。例如矩阵A,在第一特征向 量，)0方向的特征值为，=-1，即横轴 正方向的增益为-1，其结果是把原图中横轴正方 向的部分变换到新图的负方向去了；A在第二特 0 征向量P(,2)=1 的方向的特征值为21(2)=1， 即纵轴正方向的增益为1，因而保持了新图和原图 在纵轴方向尺度不变
9.2 二维矩阵特征值的几何意义 • 二维矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向 量的方向上的放大量。例如矩阵A1在第一特征向 量 方向的特征值为 ，即横轴 正方向的增益为−1，其结果是把原图中横轴正方 向的部分变换到新图的负方向去了； A1在第二特 征向量 的方向的特征值为λ1 (2)=1， 即纵轴正方向的增益为1，因而保持了新图和原图 在纵轴方向尺度不变。 1 (:,1) 0 = 1 p λ1 (1) 1 = − 0 (:,2) 1 = 1 p
用eigshow函数看特征值 ·对于比较复杂的情况，完全凭简单的几何关系去想 像是困难的，应当用eigshowi函数，联系x和Ax的向 量图来思考。 ● 键入eigshow(A)。绿色的x表示原坐标系中的单位 向量，可以用鼠标左键点住x并拖动它围绕原点转 动。图中同时出现以蓝色表示的Ax向量，它表示变 换后的新向量。当两个向量处在同一条直线上时 (包括同向和反向)，表示两者相位相同，只存在 一个（可正可负的）实数乘子， A比=x
用eigshow函数看特征值 • 对于比较复杂的情况，完全凭简单的几何关系去想 像是困难的，应当用eigshow函数，联系x和Ax的向 量图来思考。 • 键入eigshow(A4 ) 。绿色的x表示原坐标系中的单位 向量，可以用鼠标左键点住x并拖动它围绕原点转 动。图中同时出现以蓝色表示的Ax向量，它表示变 换后的新向量。当两个向量处在同一条直线上时 （包括同向和反向），表示两者相位相同，只存在 一个（可正可负的）实数乘子λ， • Ax=λx
Eigshow(A4)产生的图形 eigshow 日回☒ [1.000.50:0.001.00] 0.5 eig/(svd) help close 0.5 0 0.5 Make A'x parallel to x 开始属地址 人ATLAB 园们第五章线性： eigshow 色《铭69公136
Eigshow(A4)产生的图形
将eigshow1,2;2,2])粘贴到命令窗 eigshow([1,2;2,2])的图形 Ax 1 0 1 2 Make A'x parallel to x
eigshow([1,2; 2,2])的图形 将eigshow([1,2; 2,2])粘贴到命令窗
A是对称实矩阵的情况 ·特别要注意A是对称实矩阵的情况，所谓对 称矩阵是满足AT=A的矩阵。，对2x2矩阵， 只要求A(1,2)=A(2,1)。例如令A=[1,2,2,2] 再键入eigshow(A),这时的特点是：Ax=λx 出现在Ax椭圆轨迹的主轴上，所以两个特 征值分别对应于单位圆映射的椭圆轨迹的 长轴和短轴。此时A的特征值为-0.5616和 3.5616,可以和图形对照起来看
A是对称实矩阵的情况 • 特别要注意A是对称实矩阵的情况，所谓对 称矩阵是满足AT=A的矩阵。，对22矩阵， 只要求A(1,2)= A(2,1)。例如令A =[1,2;2,2] 再键入eigshow(A)，这时的特点是：Ax=λx 出现在Ax椭圆轨迹的主轴上，所以两个特 征值分别对应于单位圆映射的椭圆轨迹的 长轴和短轴。此时A的特征值为 -0.5616和 3.5616，可以和图形对照起来看