高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 证设z=x2+y2,则u=p(z) -V- =xo'(z)2y-y2x0'(z)=0 Ov 例6设z=f,x儿其中∫具有对各变量的连续的=阶偏号数，M=Xe,求二 dxov 解 色=fe'+分 Bihe axoy dy Ov =(fuxe+h)e'+f'e'+fxe+f 二、全微分形式不变性 设z=4,)具有连续偏导数，则有全微分 de=Oz du+Dzdv. Cu Ov 如果z=山，v)具有连续偏导数，而=化，y),=x,y)也具有连续偏导数，则 dk=k+2山 Ox dy 0+20+z0+座必山 Ou Ox Ov Ox ou dy ov dy =产0k+必+k+必d州 ou Ox Cy Ov dx 加+ Ou 由此可见，无论z是自变量、v的函数或中间变量、y的函数，它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性. 例7设z=e”siny,=xy,=x+y,利用全微分形式不变性求全微分. de=zdu+dv=e"sin vdut e"cos vdv e"sin v(y dx+x dy )e"cos v(dx+dy) =ye"sin v+e"cos v)dx+(xe"sin v+e"cos v)dy =e[y sin(x+y)+cos(x+y)]dx+e [x sin(x+y)+cos(x+y)]dv. 小结：本节研究了求复合函数偏导数的连锁法则。与一元函数，复合函数求导的连锁法 则仍然是多元函数求导法中一个关键性的方法 4