解(1)作变换n=a1x+hy+c,=a2x+b2y+c2,则9")=ab2-a2b, 于是面积 S=fro(, y dud duc Jo(u,v la, b2-a2b13) la, b2-a2 b l (2)作变换u=y,y=2,则x=2,y=2,xy=互,于是面积 d(u,v) Bdv 1 a(,y) (3)令x=rcos,y=rsin,则曲线方程可化为极坐标形式r=acos3, 于是面积 66 de o rdr=3a26cos23040=a2 (4)作变换{x=m hkrsin26,而曲线方程化为 r2="cos 40+sin 40 b 于是面积 S=hk 20d0 va sin 0 cos'0d0+[2/sin 0de hk(a2k2+bh2) 3.求极限 f(x, y)dxdy p→0丌Px2+y2≤p2 其中f(x,y)在原点附近连续 解由积分中值定理, f(x, y)dxdy=f(s, n) 其中22+n2≤p2。 因为∫连续,且当p→0时,(2,n)→(00),所以 limbs(x, y)drdy=/(0,0) 4.选取适当的坐标变换计算下列二重积分 (1)∫/+√kab,其中D是由坐标轴及抛物线√x+y=1所围 D解（1）作变换 1 1 1 2 2 2 u = a x + b y + c , v = a x + b y + c ，则 1 2 2 1 ( , ) ( , ) a b a b x y u v = − ∂ ∂ ， 于是面积 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( , ) a b a b dudv a b a b dudv u v x y S D D − = − = ∂ ∂ = ∫∫ ∫∫ ′ ′ π 。 （2）作变换 x y v x y u = , = 2 ，则 v u y v u x = , = 2 ， 4 ( , ) ( , ) v u u v x y = ∂ ∂ ，于是面积 = = ∂ ∂ = ∫∫ ∫ ∫ ′ β α 4 ( , ) ( , ) v dv dudv udu u v x y S n m D ) 1 1 ( )( 6 1 3 3 2 2 α β n − m − 。 （3）令 x = r cosθ , y = rsinθ ，则曲线方程可化为极坐标形式r = a cos3θ ， 于是面积 = = = ∫ ∫ ∫ − 6 0 2 2 cos3 0 6 6 3 3 cos 3 π θ π π S dθ rdr a θdθ a 2 4 a π 。 （4）作变换 ，则 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = θ θ 2 2 sin cos y kr x hr θ θ sin 2 ( , ) ( , ) hkr r x y = ∂ ∂ ，而曲线方程化为 θ θ 4 2 2 4 2 2 2 cos sin b k a h r = + ， 于是面积 ∫ ∫ + = θ θ π θ θ 4 2 2 4 2 2 cos sin 0 2 0 sin 2 b k a h S hk d rdr ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ∫ ∫ 2 0 2 0 5 2 2 5 2 2 sin cos sin cos π π θ θ θ θ θdθ b k d a h hk = 2 2 2 2 2 2 6 ( ) a b hk a k + b h 。 3. 求极限 lim ( , ) ρ ρ → π ρ + ≤ ∫∫ 0 2 1 2 2 2 f x y dxdy x y ， 其中 f x( , y) 在原点附近连续。 解 由积分中值定理， 2 ( , ) ( , ) 2 2 2 ξ η πρ ρ f x y dxdy f x y = ∫∫ + ≤ ， 其中ξ2 +η2 ≤ ρ2。 因为 f 连续，且当ρ → 0时，(ξ ,η) → (0,0)，所以 lim ( , ) ρ ρ → π ρ + ≤ ∫∫ 0 2 1 2 2 2 f x y dxdy x y = f (0,0)。 4. 选取适当的坐标变换计算下列二重积分： （1） ( ) ∫∫ + D x y dxdy，其中D是由坐标轴及抛物线 x y + = 1所围 2