的区域 2)1),其中D是由D)椭圆合+=1所围区城 )圆 R2所围的区域: (3)∫ytod,其中D是由直线x=-2,y=0,y=2以及曲线 y2所围的区域 (4)Jedb,其中D是由直线x+y=2,x=0及y=0所围的区域; (5)』,+》)d,其中闭区域D=(x,)x+1y (6) ddy,其中闭区域D是由曲线y=a2-x2-a √4a2-x2-y2 (a>0)和直线y=-x所围成 解(1)作变换{=yx,则{x=",20x)=4m,于是 y=v2 a(u, v) +√kob=j(a+)4oh8wnh D 8[(1-v)3-(1-v) 注:本题也可通过作变换x=rcos4,y=rsin4θ来求解。 (2)i)作广义极坐标变换{x=0,则x=a,于是 y= brsin 8 a(r,6) dxdy ab dosed=2 ⅱ)利用极坐标变换,得到 dxd b del rdr 3=的 vara ∫上mb=43m 3J3sim2ab=4、下 (4)作变换n=x+y=x,则x=20+n)y=-y,直接计算得 d(x, y) d(u,v的区域； （2）∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + D dxdy b y a x 2 2 2 2 ，其中D是由 i）椭圆 x a y b 2 2 2 + 2 = 1所围区域； ii）圆 x 2 + y 2 = R2所围的区域； （3） ∫∫ ，其中 是由直线 D ydxdy D x = −2, y = 0 ， y = 2 以及曲线 2 x = − 2y − y 所围的区域； （4）∫∫ + − D e dxdy x y x y ，其中D是由直线 x + y = 2 0 , x = 及 y = 0所围的区域； （5）∫∫ + − + D dxdy x y x y 2 2 1 ( ) ( ) ，其中闭区域D = {(x, y) | | x | + | y |≤ 1}； （6） ∫∫ − − + D dxdy a x y x y 2 2 2 2 2 4 ，其中闭区域D是由曲线 y = a − x − a 2 2 （a > 0）和直线 y = −x 所围成。 解（1）作变换⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = v y u x ，则 ， ⎩ ⎨ ⎧ = = 2 2 y v x u uv u v x y 4 ( , ) ( , ) = ∂ ∂ ，于是 ( ) ∫∫ + D x y dxdy ∫∫ ∫ ∫ − ′ = + = v D u v uvdudv vdv u du 1 0 2 1 0 ( )4 8 15 2 8 [(1 ) (1 ) ] 1 0 3 4 = − − − = ∫ v v dv 。 注：本题也可通过作变换 x = r cos 4 θ , y = rsin 4 θ 来求解。 （2）i）作广义极坐标变换 ，则 ⎩ ⎨ ⎧ = = θ θ sin cos y br x ar abr r x y = ∂ ∂ ( , ) ( , ) θ ，于是 ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + D dxdy b y a x 2 2 2 2 = = ∫ ∫ 1 0 3 2 0 ab d r dr π θ ab 2 π ； ii）利用极坐标变换，得到 ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + D dxdy b y a x 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 3 2 0 2 2 2 2 4 cos sin ( ) a b a b R d r dr a b R + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ∫ ∫ π θ π θ θ 。 （3）∫∫ D ydxdy 2 0 2 2 0 2 x y y x y ydxdy ydxdy − ≤ ≤ − ≥− ≤ ≤ = − ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = − = − − π π π θ π θ θ θ θ 2 4 2sin 0 2 2 2 0 0 2 sin 3 8 dx ydy sin d r dr 4 d 2 sin 4 3 8 4 2 0 4 π θ θ π = − = − ∫ d 。 （4）作变换 x y x y u x y v + − = + , = ，则 (1 ) 2 1 (1 ), 2 1 x = u + v y = u − v ，直接计算得 ( , ) 2 ( , ) u u v x y = − ∂ ∂ 。 3