·1410 工程科学学报，第40卷，第11期 将以上数据绘制成图6中(a)和(b)所示，样本 知，SVM-PS0方法的寻优目标函数值的相对误差 量从100组依次减少至50组的过程中，由图6中 曲线均位于BP-PSO方法的相对误差曲线下方，且 (a)知，SVM预测系统总误差始终低于BP神经网络 前者的寻优目标函数值的相对误差的最大值与最小 预测系统总误差，且前者的预测系统总误差最大值 值的差值为0.0017，而后者的差值为0.0442，因此， 与最小值的差值为0.0006，而后者的差值为0.051， 相比BP-PS0方法，SVM-PSO方法同样可以在样 同样验证了在样本量相对较少的情况下，SVM对系 本量较少的情况下，更准确且稳定的实现对该系统 统的预测效果比后者好，且更稳定.再根据图6(b) 的寻优 0.08 (a) SVM 0.0500又 -SVM-IPSO 0.07 BP 0.045 BP-PSO 0.06 0.040 路0.035 0.05 0.030 0.04 0.025 是0.020 匹0.015 0.02 0.010 0.01 0.005 60 90 100 60708090100 样本量 样本量 图6实例二中不同样本量下的实验结果.(a)样本量与预测系统总误差的变化曲线：(b)样本量与寻优目标函数值相对误差的变化曲线 Fig.6 Experimental results for the second example under different sample sizes:(a)variation of the sample size and the total error of predicting sys- tem;(b)variation of the sample size and relative error of optimal objective function value J Harbin Inst Technol,2015,47(11):27 4结论 (杨剑哲，孙巧榆，王君，等.基于改进增广拉格朗日乘子法 的鲁棒性主成分分析.哈尔滨工业大学学报，2015,47(11)： (1)将寻优精度和获取样本的代价作为考虑的 27) 对象，提出了运用SVM-IPS0方法来解决实际中难 [4] MeDougall T J,Wotherspoon S J.A simple modification of 以准确建立数学模型的非线性约束单目标系统优化 Newton's method to achieve convergence of order I +v2.Appl 问题，并基于系统样本点，构建了SVM-PS0优化 Math Lett.2014,29:20 模型。 [5]Shen C G,Zhang L H,Liu W.A stabilized filter SQP algorithm (2)通过两个算例，首先，在样本数量相同的条 for nonlinear programming.Global Optimication,2016,65(4): 677 件下，验证了SVM-IPS0方法比BP-PSO方法具有 [6]Ruan M Z.Li Q M,Wang HJ,et al.Application of artificial im- 更高的非线性约束单目标系统优化能力.其次，研 mune particle-swarm-optimization algorithm to system-reliability 究了在样本数量减少的情况下，两种方法的寻优效 optimization.Control Theory Appl,2010.27(9):1253 果变化情况.实验得出了在样本数量相对较少的情 (阮旻智，李庆民，王红军，等.人工免疫粒子群算法在系统 可靠性优化中的应用.控制理论与应用，2010,27(9)：1253) 况下，相比BP-PSO0方法，SVM-PS0方法仍能得到 [7] Cheng Y,Cheng W M.Zheng Y,et al.Structural reliability opti- 更准确且稳定的寻优结果 mal design based on chaos particle swarm optimization.Central (3)在实际应用中，成本一般会作为重要的考 South Univ Sci Technol,2011,42(3):671 虑因素，因此，可以应用SVM-PSO方法以适当较少 (程跃，程文明，郑严，等.基于混沌粒子群算法的结构可靠 性优化设计.中南大学学报（自然科学版），2011,42(3)： 的样本实现对此类系统的寻优 671) 参考文献 [8]Beheshti Z,Shamsuddin S M,Yuhaniz SS.Binary accelerated par- ticle swarm algorithm (BAPSA)for discrete optimization prob- [1]Courant R.Variational methods for the solution of problems of lems.J Global Optimization,2013,57(2):549 equilibrium and vibrations.Bull Am Math Soc,1943,49(1943):1 [9]Chang H W,Ma H,Zhang J Q,et al.Optimization of metamate- [2]Powell M JD.A method for nonlinear constraints in minimization rial based weighted real-coded genetic algorithm.Acta Phys Sin, problems.Optimization,1969,5(6):283 2014,63(8):087804-1 [3]Yang JZ,Sun Q Y,Wang J,et al.Robust principal component (常红伟，马华，张介秋，等.基于加权实数编码遗传算法的 analysis based on advanced augmented lagrange multiplier method 超材料优化设计.物理学报，2014,63(8)：087804-1)工程科学学报,第 40 卷,第 11 期 将以上数据绘制成图 6 中(a)和(b)所示,样本 量从 100 组依次减少至 50 组的过程中,由图 6 中 (a)知,SVM 预测系统总误差始终低于 BP 神经网络 预测系统总误差,且前者的预测系统总误差最大值 与最小值的差值为 0郾 0006,而后者的差值为 0郾 051, 同样验证了在样本量相对较少的情况下,SVM 对系 统的预测效果比后者好,且更稳定. 再根据图 6(b) 知,SVM鄄鄄IPSO 方法的寻优目标函数值的相对误差 曲线均位于 BP鄄鄄 PSO 方法的相对误差曲线下方,且 前者的寻优目标函数值的相对误差的最大值与最小 值的差值为 0郾 0017,而后者的差值为 0郾 0442,因此, 相比 BP鄄鄄PSO 方法,SVM鄄鄄 IPSO 方法同样可以在样 本量较少的情况下,更准确且稳定的实现对该系统 的寻优. 图 6 实例二中不同样本量下的实验结果. (a) 样本量与预测系统总误差的变化曲线; (b) 样本量与寻优目标函数值相对误差的变化曲线 Fig. 6 Experimental results for the second example under different sample sizes: (a) variation of the sample size and the total error of predicting sys鄄 tem; (b) variation of the sample size and relative error of optimal objective function value 4 结论 (1)将寻优精度和获取样本的代价作为考虑的 对象,提出了运用 SVM鄄鄄IPSO 方法来解决实际中难 以准确建立数学模型的非线性约束单目标系统优化 问题,并基于系统样本点,构建了 SVM鄄鄄 IPSO 优化 模型. (2)通过两个算例,首先,在样本数量相同的条 件下,验证了 SVM鄄鄄 IPSO 方法比 BP鄄鄄 PSO 方法具有 更高的非线性约束单目标系统优化能力. 其次,研 究了在样本数量减少的情况下,两种方法的寻优效 果变化情况. 实验得出了在样本数量相对较少的情 况下,相比 BP鄄鄄PSO 方法,SVM鄄鄄IPSO 方法仍能得到 更准确且稳定的寻优结果. (3)在实际应用中,成本一般会作为重要的考 虑因素,因此,可以应用 SVM鄄鄄IPSO 方法以适当较少 的样本实现对此类系统的寻优. 参 考 文 献 [1] Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. Bull Am Math Soc, 1943, 49(1943):1 [2] Powell M J D. A method for nonlinear constraints in minimization problems. Optimization, 1969, 5(6):283 [3] Yang J Z, Sun Q Y, Wang J, et al. Robust principal component analysis based on advanced augmented lagrange multiplier method. J Harbin Inst Technol, 2015, 47(11): 27 (杨剑哲, 孙巧榆, 王君, 等. 基于改进增广拉格朗日乘子法 的鲁棒性主成分分析. 哈尔滨工业大学学报, 2015, 47(11): 27) [4] McDougall T J, Wotherspoon S J. A simple modification of Newton蒺s method to achieve convergence of order 1 + 2. Appl Math Lett, 2014, 29: 20 [5] Shen C G, Zhang L H, Liu W. A stabilized filter SQP algorithm for nonlinear programming. J Global Optimization, 2016, 65(4): 677 [6] Ruan M Z, Li Q M, Wang H J, et al. Application of artificial im鄄 mune particle鄄swarm鄄optimization algorithm to system鄄reliability optimization. Control Theory Appl, 2010, 27(9): 1253 (阮旻智, 李庆民, 王红军, 等. 人工免疫粒子群算法在系统 可靠性优化中的应用. 控制理论与应用, 2010, 27(9): 1253) [7] Cheng Y, Cheng W M, Zheng Y, et al. Structural reliability opti鄄 mal design based on chaos particle swarm optimization. J Central South Univ Sci Technol, 2011, 42(3): 671 (程跃, 程文明, 郑严, 等. 基于混沌粒子群算法的结构可靠 性优化设计. 中南大学学报( 自然科学版), 2011, 42 (3 ): 671) [8] Beheshti Z,Shamsuddin S M,Yuhaniz S S. Binary accelerated par鄄 ticle swarm algorithm ( BAPSA) for discrete optimization prob鄄 lems. J Global Optimization, 2013, 57(2): 549 [9] Chang H W, Ma H, Zhang J Q, et al. Optimization of metamate鄄 rial based weighted real鄄coded genetic algorithm. Acta Phys Sin, 2014, 63(8): 087804鄄1 (常红伟, 马华, 张介秋, 等. 基于加权实数编码遗传算法的 超材料优化设计. 物理学报, 2014, 63(8): 087804鄄1) ·1410·