侯公羽等：无数学模型的非线性约束单目标系统优化方法改进 ·1409· -7.80 BP-PSO方法寻优的目标函数值相对误差为 7.85 0.0095.又SVM-PS0方法的预测系统总误差 -7.90 (0.0003)比BP-PS0方法的预测系统总误差 7.95 (0.0342)小，因此，SVM-PS0方法对该实例的非线 -8.00 性约束单目标系统的优化能力同样优于BP-PSO -8.05 方法. -8.10 -7.6 -8.15 -7.7 -8.20 -8.25102030405060708090100 -7.8 进化次数 图4实例二中PS0寻优过程 -7.9 Fig.4 Optimization process of IPSO for the second example -8.0 的隐含层节点数为18.网络训练迭代次数设置为 1000次，学习速率为0.1，目标误差为0.01.运用 -8.1 100组样本对神经网络模型进行训练，8组测试样本 102030405060708090100 的检测结果如表5所示，此时对应的预测系统总误 进化次数 差为0.0342 图5实例二中PS0寻优过程 表5实例二中BP测试结果 Fig.5 Optimization process of PSO for the second example Table 5 Test results of BP for the second example 3.2.2该实例样本量减少下的仿真实验对比分析 样本编号 期望值 预测值 相对误差 将原100组训练样本同样依次减少5组样本， 样本1 -6.9712 -7.1883 0.0311 直到减少为原样本量的一半为止，获得11个不同量 样本2 -7.8678 -7.7899 0.0099 的训练样本的集合.分别运用两种方法对本实例系 样本3 -4.7806 -4.5927 0.0393 统进行寻优.SVM-IPSO方法和BP-PSO方法的参 样本4 -3.3354 -3.2438 0.0275 数值同该实例之前的设置.获得在不同量的训练样 样本5 -7.6448 -7.5611 0.0109 本条件下的预测系统总误差和对应的寻优目标函数 样本6 -1.5975 -1.4827 0.0719 值相对误差如表6所示. 样本7 -5.8410 -5.7240 0.0204 表6实例二中不同样本量下两种方法的实验结果 样本8 -2.4613 -2.4578 0.0014 Table 6 Experimental results of the two methods under different sample sizes for the second example 同样为了对比的科学性，PS0算法中参数值的 SVM-IPS0方法 BP-PSO方法 设置同该实例的PS0算法相关参数设置，寻优迭代 过程如图5所示，最终得到的最优粒子的适应度值 样本量 系统总 寻优目标 系统总 寻优目标 误差 函数值 误差 函数值 的倒数为-8.1442，对应的最优变量因素值组合为 (MSE) 相对误差 (MSE) 相对误差 (x1,x2)=(0.7884,1.2088).所以运用BP-PS0 100 0.0003 0.0024 0.0342 0.0095 方法求解该实例系统得到的最优目标函数(X)的 95 0.0003 0.0025 0.0279 0.0055 0.0004 0.0032 0.0294 0.0037 值为-8.1442 90 85 0.0004 0.0020 0.0275 0.0094 (3)两种方法的寻优结果比较分析 80 0.0004 0.0030 0.065 0.0298 运用非线性规划中的二次规划法求解该实例中 75 0.0003 0.0022 0.0637 0.0267 系统最优值问题的准确值.求解所得结果为：(x, 70 0.0004 0.0026 0.0701 0.0113 x2)=(0.6667,1.3330),对应的目标函数值为 65 0.0004 0.0037 0.0363 0.0168 f(X)=-8.2222. 60 0.0005 0.0030 0.0514 0.0396 因此，在无准确数学模型时，运用SVM-PS0方 55 0.0008 0.0034 0.0785 0.0479 50 0.0009 0.0033 0.0633 0.0320 法所求的目标函数值相对误差为0.0024，而运用侯公羽等: 无数学模型的非线性约束单目标系统优化方法改进 图 4 实例二中 IPSO 寻优过程 Fig. 4 Optimization process of IPSO for the second example 的隐含层节点数为 18. 网络训练迭代次数设置为 1000 次,学习速率为 0郾 1,目标误差为 0郾 01. 运用 100 组样本对神经网络模型进行训练,8 组测试样本 的检测结果如表 5 所示,此时对应的预测系统总误 差为 0郾 0342. 表 5 实例二中 BP 测试结果 Table 5 Test results of BP for the second example 样本编号 期望值 预测值 相对误差 样本 1 - 6郾 9712 - 7郾 1883 0郾 0311 样本 2 - 7郾 8678 - 7郾 7899 0郾 0099 样本 3 - 4郾 7806 - 4郾 5927 0郾 0393 样本 4 - 3郾 3354 - 3郾 2438 0郾 0275 样本 5 - 7郾 6448 - 7郾 5611 0郾 0109 样本 6 - 1郾 5975 - 1郾 4827 0郾 0719 样本 7 - 5郾 8410 - 5郾 7240 0郾 0204 样本 8 - 2郾 4613 - 2郾 4578 0郾 0014 同样为了对比的科学性,PSO 算法中参数值的 设置同该实例的 IPSO 算法相关参数设置,寻优迭代 过程如图 5 所示,最终得到的最优粒子的适应度值 的倒数为 - 8郾 1442,对应的最优变量因素值组合为 (x1 , x2 ) = (0郾 7884, 1郾 2088). 所以运用 BP鄄鄄 PSO 方法求解该实例系统得到的最优目标函数 f(X)的 值为 - 8郾 1442. (3)两种方法的寻优结果比较分析. 运用非线性规划中的二次规划法求解该实例中 系统最优值问题的准确值. 求解所得结果为:( x1 , x2 ) = ( 0郾 6667, 1郾 3330 ), 对 应 的 目 标 函 数 值 为 f(X) = - 8郾 2222. 因此,在无准确数学模型时,运用 SVM鄄鄄IPSO 方 法所求的目标函数值相对误差为 0郾 0024,而运用 BP鄄鄄 PSO 方 法 寻 优 的 目 标 函 数 值 相 对 误 差 为 0郾 0095. 又 SVM鄄鄄 IPSO 方 法 的 预 测 系 统 总 误 差 (0郾 0003) 比 BP鄄鄄 PSO 方 法 的 预 测 系 统 总 误 差 (0郾 0342)小,因此,SVM鄄鄄IPSO 方法对该实例的非线 性约束单目标系统的优化能力同样优于 BP鄄鄄 PSO 方法. 图 5 实例二中 PSO 寻优过程 Fig. 5 Optimization process of PSO for the second example 3郾 2郾 2 该实例样本量减少下的仿真实验对比分析 将原 100 组训练样本同样依次减少 5 组样本, 直到减少为原样本量的一半为止,获得 11 个不同量 的训练样本的集合. 分别运用两种方法对本实例系 统进行寻优. SVM鄄鄄IPSO 方法和 BP鄄鄄 PSO 方法的参 数值同该实例之前的设置. 获得在不同量的训练样 本条件下的预测系统总误差和对应的寻优目标函数 值相对误差如表 6 所示. 表 6 实例二中不同样本量下两种方法的实验结果 Table 6 Experimental results of the two methods under different sample sizes for the second example 样本量 SVM鄄鄄IPSO 方法 BP鄄鄄PSO 方法 系统总 误差 (MSE) 寻优目标 函数值 相对误差 系统总 误差 (MSE) 寻优目标 函数值 相对误差 100 0郾 0003 0郾 0024 0郾 0342 0郾 0095 95 0郾 0003 0郾 0025 0郾 0279 0郾 0055 90 0郾 0004 0郾 0032 0郾 0294 0郾 0037 85 0郾 0004 0郾 0020 0郾 0275 0郾 0094 80 0郾 0004 0郾 0030 0郾 065 0郾 0298 75 0郾 0003 0郾 0022 0郾 0637 0郾 0267 70 0郾 0004 0郾 0026 0郾 0701 0郾 0113 65 0郾 0004 0郾 0037 0郾 0363 0郾 0168 60 0郾 0005 0郾 0030 0郾 0514 0郾 0396 55 0郾 0008 0郾 0034 0郾 0785 0郾 0479 50 0郾 0009 0郾 0033 0郾 0633 0郾 0320 ·1409·