协变张量 定义12.8 最后,我们来考察张量积(p)⑧'(q),它有两组基 En⑧…⑧En⑧fh⑧…⑧f (,…,,,…,J分别取值,…,m) n⑧…⑧n.⑧g18…⑧g (k,,k,,…,J分别取值1,…,n) (p)⑧(q)内一个向量可表示成 a-"51③…⑧E,⑧fh⑧…③f =amn…,②818…⑧g 在基变换E1=sm,f=tg4下,有 -kkk=Si …a的 域K内一组元素{am”14,…,…,分别取值…在F和F的上述基变换下按 公式(**)变换时,就称它为上的一个p秩逆变,q秩协变的混合张量,或简称为(Pp,q) 型张量 1232张量的加法和乘法 (i)加法 给定两个(Pq)型张量:a”,和b,定义 h“2-+b1 J12""Jg 称为两个张量的和。显然,两个(p,q)型张量的和仍然是一个(P,q)型张量 (i)乘法 给定一个(p,q)型张量am,,把它看作张量积Ⅳ(p)②V(q)内向量a在基 6的…8E,8f…下的坐标:又给定一个(,s)型张量b,,把它看作 r()()内一个向量B在1②…⑧5,…8八下的坐标。我们考察张量积 ((p)⑧I(q)((r)(s)=⑧…8rv⑧…⑧V 它里面有一组基为协变张量。 定义 12．8 最后，我们来考察张量积 * V p V q ( ) ( )  ，它有两组基 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ,..., , ,..., 1,..., ), ( ,..., , ,..., 1,..., ). q p q p j j i i p q l l k k p q f f i i j j n g g k k l l n               分别取值 分别取值 * V p V q ( ) ( )  内一个向量可表示成 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 p q q p p q q p i i i j j j j j i i k k k l l l l l k k a f f a g g          =      在基变换 k i i k   = s ， i i k k f t g = 下，有 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 . p p q p q p q q k k k k j i i i k j l l l i i l l j j j a s s t t a = （***） 域 K 内一组元素 1 2 1 2 1 1 { | ,..., , ,..., 1,..., } p q i i i j j j p q a i i j j n 分别取值 在 V 和 * V 的上述基变换下按 公式（***）变换时，就称它为 V 上的一个 p 秩逆变， q 秩协变的混合张量，或简称为 ( , ) p q 型张量。 12.3.2 张量的加法和乘法 （i） 加法 给定两个 ( , ) p q 型张量： 1 2 1 2 p q i i i j j j a 和 1 2 1 2 p q i i i j j j b ，定义 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 p p p q q q i i i i i i i i i j j j j j j j j j c a b = + 称为两个张量的和。显然，两个 ( , ) p q 型张量的和仍然是一个 ( , ) p q 型张量。 （ii） 乘法 给定一个 ( , ) p q 型张量 1 2 1 2 p q i i i j j j a ，把它看作张量积 * V p V q ( ) ( )  内向量  在基 1 1 q p j j i i        f f 下的坐标；又给定一个 ( , ) r s 型张量 1 1 r s k k l l b ，把它看作 * V r V s ( ) ( )  内一个向量  在 1 1 s r l l k k        f f 下的坐标。我们考察张量积 * * * * ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) . p r q s V p V q V r V s V V V V + +    =      项 项 它里面有一组基为