第十八章极值与条件极值 81极值与最小二乘法 1.下列函数的极大值点和极小值点 (1)f(x,y)=(x-y+1)2; (2)f(x,y)=3axy-x3-y3(a>0) (3)f(x,y) (a,b>0 (4)f(x,y)=e2r(x+y2+2y); (5)f(x,y)=sinx+cosy+cos(x-y)(0≤x,y≤2) (6)f(x,y)=(√x2+y2-1)2 2.已知y=ax2+bx+c,观测得一组数据(x;,yi)i=1,2,,n,利用最小 二乘法,求系数ab,c所满足的三元一次方程组 3.已知平面上有n个点的坐标分别是 A1(x1,y1),A2(x2,v),…,An(xn,y) 试求一点,使它与这n个点距离的平方和最小 4.求下列函数在指定范围D内的最大值和最小值 (1)f(x,y) y2,D={(x,y)|x2+y2≤4} (2)f(x,y)=x2-y+y2,D={(x,y)r|+例≤1}; (3)f(x,y,2)=(ax+by+c)e-(2+y+2),a2+b2+2>0,D=R 5.求证第十八章 极值与条件极值 §1 极值与最小二乘法 1．下列函数的极大值点和极小值点： (1) f(x, y) = (x − y + 1)2 ; (2) f(x, y) = 3axy − x 3 − y 3 (a > 0); (3) f(x, y) = xyq 1 − x2 a 2 − y 2 b 2 (a, b > 0); (4) f(x, y) = e 2x (x + y 2 + 2y); (5) f(x, y) = sin x + cos y + cos(x − y)(0 ≤ x, y ≤ π 2 ); (6) f(x, y) = (p x 2 + y 2 − 1)2 . 2．已知y = ax2 + bx + c,观测得一组数据(xi , yi),i=1,2,. . . ,n，利用最小 二乘法，求系数a,b,c所满足的三元一次方程组. 3．已知平面上有n个点的坐标分别是 A1(x1, y1), A2(x2, y2), . . . , An(xn, yn) 试求一点，使它与这n个点距离的平方和最小. 4．求下列函数在指定范围D内的最大值和最小值： (1) f(x, y) = x 2 − y 2 , D = {(x, y)|x 2 + y 2 ≤ 4}; (2) f(x, y) = x 2 − xy + y 2 , D = {(x, y)||x| + |y| ≤ 1}; (3) f(x, y, z) = (ax + by + cz)e −(x 2+y 2+z 2 ) , a2 + b 2 + c 2 > 0, D = R3 . 5．求证： 1