七、(10分)设函数f(x)定义在[a,b且f(x)∈[a,,又[a,中任意不同的x,y满 足|f(x)-f(y)川<z-外令1∈[a,,并归纳定义xn+1=(cn+f(xn).求证： (1){xn}是单调数列：(2){xn}收敛于[a,)中一点c且f(c)=c(3)满足 f(x)=x的x是唯一的. 证明(1)由条件f(x)-f()川<lz-可知 2a1-m=a--1+fe)-fen-》 与xn-xn-1同号，因而与2-x1同号.故，{xn}是单调数列. … (4分) 2)因为xn∈a,且{红n}单调，所以{zn}收敛.设imn=c则c∈a,小 由 1f(x)-f(y)川<x- 可知f(x)在[a,上连续。 在 inti=(n+f(En)) 令n→o,得c=(c+f(c).即，f(c)=c. .(7分) (3)若另有c1∈[a,,G≠c使得f(c)=G1.则 lc-cl=f(c)-f(c)<lc-cil. 这不可能.故，满足f(x)=x的x是唯一的. .…(10分) 第4页（共6页）Ô! (10 ©) ¼ê f(x) ½Â3 [a, b] … f(x) ∈ [a, b], q [a, b] ¥?¿ØÓ x, y ÷ v |f(x) − f(y)| < |x − y|. - x1 ∈ [a, b], ¿8B½Â xn+1 = 1 2 ￾ xn + f(xn)
. ¦y: (1) {xn} ´üNê; (2) {xn} Âñu [a, b] ¥: c, … f(c) = c; (3) ÷v f(x) = x  x ´. y² (1) d^‡ |f(x) − f(y)| < |x − y| Œ xn+1 − xn = 1 2 ￾ xn − xn−1 + f(xn) − f(xn−1)
† xn − xn−1 ÓÒ, Ï † x2 − x1 ÓÒ. , {xn} ´üNê. ............ (4 ©) (2) Ϗ xn ∈ [a, b] … {xn} üN, ¤± {xn} Âñ.  limn→∞ xn = c. K c ∈ [a, b]. d |f(x) − f(y)| < |x − y| Œ f(x) 3 [a, b] þëY. 3 xn+1 = 1 2 ￾ xn + f(xn)
- n → ∞,  c = 1 2 (c + f(c)). =, f(c) = c. ............ (7 ©) (3) e,k c1 ∈ [a, b], c1 6= c ¦ f(c1) = c1. K |c − c1| = |f(c) − f(c1)| < |c − c1|. ù،U. , ÷v f(x) = x  x ´. ............ (10 ©) 1 4 £
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