可以验证 (1)+,·是良定义的,即与等价类代表元的选择无关 (2)(5,+,)对加法构成交换群,(,+)-(0对乘法也构成交换群,且加法和乘 法满足分配律。 于是,(S,+)构成域,称之为R的分式域或商域,将(S/,+)中的元素(a,b)记为 B,则(∠,+中的元素的运算规则与通常的分式运算完全一致 定义915(域上的一元有理分式域)若R=K[x],则记(,+)为K(x),并将其 称之为域上的一元有理分式域,其元素形如(x)(x)≠0) f(x) 9.4.2有理分式的准素分解式 定义916(准素分式)在K(x)内的一个分式q(x)/p(x),如果其中p(x)是首一不可 约多项式,而degq(x)<degp(x),则称之为准素分式 定理K(x)内任意分式可分解为一个多项式和若干准素分式之和 证明:设8(x)∈K(x),且不妨设((x)g(x)=1,dg(x)<deg(x)。设∫(x)的 f(x) 素因子标准分解式为: f(x)=P1(x)…p,(x) 则存在(x),v(x)∈K[x,使得 l(x)P1(x)3+v(x)(P2(x)°…P,(x))=1 于是 g(x)(u(x)D1(x)+v(x)(p2(x)2…P,(x))g(x) f(x) P(x)…p,(x)° u(x)g(x) v(x)g(x) (归纳的做下去) P2(x)2…p,(x)°P1(x) q1(x) +g(x) (且不难得deg P(x)p2(x)2 P(x)°) p(x 将q(x)表成q(x)的方幂的K[x]一线性组合 q (x)=go(x)+qa(x)p (x)+q2(x)p(x)+.+qe (x)p, (x)可以验证： （1） +, 是良定义的，即与等价类代表元的选择无关； （2） ( , , ) S + 对加法构成交换群， ( , , ) {0} S + − 对乘法也构成交换群，且加法和乘 法满足分配律。 于是， ( , , ) S + 构成域，称之为 R 的分式域或商域，将 ( , , ) S + 中的元素 ( , ) a b 记为 a b ，则 ( , , ) S + 中的元素的运算规则与通常的分式运算完全一致。 定义 9.15 （域上的一元有理分式域） 若 R K x = [ ] ，则记 ( , , ) S + 为 K x( ) ，并将其 称之为域上的一元有理分式域，其元素形如 ( ) ( ( ) 0) ( ) g x f x f x  。 9.4.2 有理分式的准素分解式 定义 9.16 （准素分式）在 K x( ) 内的一个分式 ( ) ( )k q x p x ，如果其中 p x( ) 是首一不可 约多项式，而 deg ( ) deg ( ) q x p x  ，则称之为准素分式。 定理 K x( ) 内任意分式可分解为一个多项式和若干准素分式之和。 证明：设 ( ) ( ) ( ) g x K x f x  ，且不妨设 ( ( ), ( )) 1,deg ( ) deg ( ) f x g x g x f x =  。设 f x( ) 的 素因子标准分解式为： 1 1 ( ) ( ) ( ) s e e s f x p x p x = 则存在 u x v x K x ( ), ( ) [ ]  ，使得 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ) 1 s e e e s u x p x v x p x p x + = 于是 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ( ) ( ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( deg ( ) deg ( ) ) ( ) ( ) ( ) = s s s i s e e e s e e s e e e s s e e e e i i s g x u x p x v x p x p x g x f x p x p x u x g x v x g x p x p x p x q x q x q x q x p x p x p x p x + = = + + + +  归纳的做下去 且不难得 将 ( ) i q x 表成 ( ) i q x 的方幂的 K x[ ]−线性组合： 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i e i i i i i i ie i q x q x q x p x q x p x q x p x = + + + +