左端∫(x),f(x)异号,即有一个变号,而在a1的右端∫(x),f(x)同号,即无变号。现在不 管a是不是(2)中某个多项式的根,根据上一段的讨论,它们对邻域(a1-8,a1+E)内W(x) 的值没有影响。由此知此时a左端W(x)的值比右端的大1。 现在让x从a向b运动,每经过f(x)的一个实根时,W(x)的函数值减1,在其他情况 下W(x)的值不变。故在(a,b)内f(x)的实根个数为W(a)-W(b) 9.33斯图姆序列的构造方法 设f(x)是一个无重根的实系数多项式,取 f6(x)=f(x),f(x)=f(x)(设degf(x)≥1)。以f(x)除后(x),得 f o(x)=gn (x)f(x)+r(x), r(x)=OoX degr(x)< deg f(x) 如r(x)=0,过程到此结束。否则,取f(x)=-r1(x),再用f2(x)去除f1(x),得 f(x)=q2(x)f2(x)+2(x) r(x)=Op deg,(x)<deg(x) 如r2(x)=0,过程到此结束。否则,取f(x)=-2(x),再用f(x)去除f2(x) 经过 若干步后,我们有 f-1(x)=q,(x)f(x) 我们可以证明下面的这个实习数多项式序列就是f(x)的一个斯图姆序列 如果f(x)是一个有重根的实系数多项式序列,设其素因式标准分解式为 f(x)=an(x)…p,(x) 这时我们仅需研究f(x)=n(x)…P(x)的实根分布就可以了 §4单变量有理函数域 941域上的一元有理分式域的定义 设R为一整环,命S={(b,a)|a,b∈R,a≠0}。现在S中规定~为 (6, a)-(d, c)o bc=ad 逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知~为一等价关系。用(b,a)表示与(b,a) 等价的元素的全体。现记S关于~的等价类的集合为5,则(ba)是5中的元素。下面 在S上定义二元运算: (a, b)+(c, d)=(ad bc, bd) (a, b)(c, d=(ac, bd)左端 1 f x f x ( ), ( ) 异号，即有一个变号，而在 i a 的右端 1 f x f x ( ), ( ) 同号，即无变号。现在不 管 i a 是不是（2）中某个多项式的根，根据上一段的讨论，它们对邻域 ( , ) i i a a −  +  内 W x( ) 的值没有影响。由此知此时 i a 左端 W x( ) 的值比右端的大 1。 现在让 x 从 a 向 b 运动，每经过 f x( ) 的一个实根时， W x( ) 的函数值减 1，在其他情况 下 W x( ) 的值不变。故在 ( , ) a b 内 f x( ) 的实根个数为 W a W b ( ) ( ) − 。 9.3.3 斯图姆序列的构造方法 设 f x( ) 是一个无重根的实系数多项式，取 0 1 f x f x f x f x f x ( ) ( ), ( ) ( )( deg ( ) 1) = =   设 。以 1 f x( ) 除 0 f x( ) ，得 0 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0 deg ( ) deg ( ) f x q x f x r x r x r x f x = + =  或 如 1 r x( ) 0 = ，过程到此结束。否则，取 2 1 f x r x ( ) ( ) = − ，再用 2 f x( ) 去除 1 f x( ) ，得 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0 deg ( ) deg ( ). f x q x f x r x r x r x f x = + =  或 如 2 r x( ) 0 = ，过程到此结束。否则，取 3 2 f x r x ( ) ( ) = − ，再用 3 f x( ) 去除 2 f x( )， ，经过 若干步后，我们有 1 ( ) ( ) ( ) s s s f x q x f x − = 我们可以证明下面的这个实习数多项式序列就是 f x( ) 的一个斯图姆序列。 如果 f x( ) 是一个有重根的实系数多项式序列，设其素因式标准分解式为 1 0 1 ( ) ( ) ( ) r k k r f x a p x p x = 这时我们仅需研究 1 ( ) ( ) ( ) r f x p x p x = 的实根分布就可以了。 §4 单变量有理函数域 9.4.1 域上的一元有理分式域的定义 设 R 为一整环，命 S b a a b R a =   {( , ) | , , 0} 。现在 S 中规定 为 ( , ) ( , ) b a d c bc ad  = 逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知 为一等价关系。用 ( , ) b a 表示与 ( , ) b a 等价的元素的全体。现记 S 关于 的等价类的集合为 S ，则 ( , ) b a 是 S 中的元素。下面 在 S 上定义二元运算： ( , ) ( , ) ( , ) a b c d ad bc bd + = + ( , ) ( , ) ( , ) a b c d ac bd =