maxC与minC都不存在,因为yh∈C,有n∈C n+1 n<+1,所以maxC与mmC都不存在 3.A,B是两个有界集,证明 (1)儿UB是有界集; (2)S={x+ylx∈A,y∈B}也是有界集 证(1)设Wx∈A,有冈≤M1,Wx∈B,有≤M2,则Yx∈UB,有 x≤max{M1,M2} (2)设x∈A,有≤M1,Yx∈B,有≤M2,则vx∈S,有≤M1+M2 4.设数集S有上界,则数集T={x|-x∈S}有下界,且supS=-infT 证设数集S的上确界为supS,则对任意x∈T={x|-x∈S},有 x≤supS,即x≥-supS;同时对任意ε>0,存在y∈S,使得y>supS-g, 于是-y∈T,且-y<-supS+E。所以-supS为集合r的下确界,即 S。 5.证明有界数集的上、下确界唯一。 证设sps既等于A,又等于B,且A<B。取6=B-4>0,因为B为 集合S的上确界,所以存在x∈S,使得x>B-ε>A,这与A为集合S的 上确界矛盾,所以A=B,即有界数集的上确界唯一。同理可证有界 数集的下确界唯 6.对任何非空数集S,必有supS≥infS。当supS=infs时,数集S有什 么特点? 解对于任意的x∈S,有infS≤ x s sup s,所以supS≥infS。当 supS=infS时,数集S是由一个实数构成的集合maxC 与minC 都不存在，因为 C m n ∀ ∈ ，有 C m n ∈ +1 ， C m n ∈ + + 1 1 ， 1 1 1 + + < < + m n m n m n ，所以maxC 与minC 都不存在。 3. A, B是两个有界集，证明： (1) A∪ B 是有界集； (2) S x = + { | y x ∈ A, y ∈ B}也是有界集。 证 （1）设∀x ∈ A，有 M1 x ≤ ，∀x ∈ B ，有 M2 x ≤ ，则∀x ∈ A∪ B，有 { } 1 2 x ≤ max M , M 。 （2）设∀x ∈ A，有 M1 x ≤ ，∀x ∈ B ，有 M2 x ≤ ，则∀x ∈ S ，有 M1 M2 x ≤ + 。 4. 设数集S 有上界，则数集T x = { | − x ∈S}有下界，且supS =− inf T 。 证 设数集 S 的上确界为 sup S ，则对任意 x ∈ T x = { | − ∈x S} ，有 − x ≤ sup S ，即 x ≥ −sup S ；同时对任意ε > 0，存在 y ∈ S ，使得 y > sup S − ε ， 于是 − y ∈T ，且 − y < −sup S + ε 。所以 − sup S 为集合T 的下确界，即 inf T = −sup S 。 5. 证明有界数集的上、下确界唯一。 证 设sup S 既等于 A，又等于B ，且 A < B。取 0 2 > − = B A ε ，因为B 为 集合S 的上确界，所以存在 x ∈ S ，使得 x > B − ε > A，这与 A为集合 的 上确界矛盾，所以 S A = B ，即有界数集的上确界唯一。同理可证有界 数集的下确界唯一。 6. 对任何非空数集S ，必有sup S ≥inf S 。当sup S =inf S 时，数集S 有什 么特点? 解 对于任意的 x ∈ S ， 有 inf S ≤ x ≤ sup S ，所以 sup S ≥ inf S 。 当 sup S =inf S 时，数集S 是由一个实数构成的集合。 10