7.证明非空有下界的数集必有下确界。 证参考定理21.1的证明。 8.设S=团xx∈Q并且x2<3,证明: (1)S没有最大数与最小数; (2)S在Q内没有上确界与下确界。 证(1)v∈S,9>0,则<3,9<2。取有理数r>0充分小, P P 使得r2+4r<3 于是 +P+—P r2+4r<3, P 即q+r∈S,所以S没有最大数。同理可证S没有最小数。 (2)反证法。设S在Q内有上确界,记spS="(m,n∈N+且mn互 质),则显然有0<"<2。由于有理数平方不能等于3,所以只有两种 可能 (i)("<3,由(1)可知存在充分小的有理数r>0,使得{"+r}<3, 这说明"+r∈S,与spS="矛盾; (ⅱ)(2>3,取有理数>0充分小,使得4-2<{")-3,于是 -r=(m)-2n,+y2>(m)-4+r2>3,这说明2-也是S的上 界,与supS="矛盾。所以S没有上确界 同理可证S没有下确界。7. 证明非空有下界的数集必有下确界。 证 参考定理2.1.1的证明。 8. 设S { | 3} 2 = x x ∈Q并且x < ，证明： (1) S 没有最大数与最小数； (2) S 在Q内没有上确界与下确界。 证 （1） S p q ∀ ∈ ， > 0 p q ，则 3 2 < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ p q ， < 2 p q 。取有理数 充分小， 使得 r > 0 2 2 4 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + < − p q r r ，于是 + + < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + r p q r p q r p q 2 2 2 2 4 3 2 2 + + < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ r r p q ， 即 r S p q + ∈ ，所以S 没有最大数。同理可证S 没有最小数。 （2）反证法。设 S 在Q内有上确界，记 m n sup S = （ 且 互 质），则显然有 + m, n ∈ N m, n 0 < < 2 m n 。由于有理数平方不能等于3，所以只有两种 可能： （i） 3 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m n ，由（1）可知存在充分小的有理数r > 0，使得 3 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + r m n ， 这说明 r S m n + ∈ ，与 m n sup S = 矛盾； （ii） 3 2 ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m n ，取有理数 r > 0 充分小，使得 4 3 2 2 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − < m n r r ，于是 ⎟ − + > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 2 r r m n m n r m n 4 3 2 2 ⎟ − + > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ r r m n ，这说明 r m n − 也是 的上 界，与 S m n sup S = 矛盾。所以S 没有上确界。 同理可证S 没有下确界。 11