习题2.2数列极限 按定义证明下列数列是无穷小量: m+} (2){(-1)(099”}; (3) (4){+2+3+…+0 (5) 证(1)v(0≤2,取N=21,当n>N时,成立02+1≤2< (2)VE(0<E<1),取N Iga 当n>N时,成立 lg0.99 -1)(09909%=。 (3)V(0<<2),取N2=21,当n>N时,成立1<;取N2=g2 当n>N2时,成立5”<5;则当n>N=mmN1,N2时,成立口+5< (4)v(<g<1),取N=|,当n>N时,成立 0 1+2+…+nn+11 <-<E 2 (5)当n>11时,有 3(1+2y2C8n-1n-2)5n°于是v>0, 取N=max,当n>N时,成立0< <一<8。习 题 2.2 数列极限 1. 按定义证明下列数列是无穷小量： ⑴ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 1 1 2 n n ； ⑵ {( ) −1 0 n n ( .99) }； ⑶ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + −n n 5 1 ； ⑷ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + 3 1 2 3 n " n ； ⑸ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n 3 2 ； ⑹ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ! 3 n n ； ⑺ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n n! ； ⑻ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + − + + + − n n n n n 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 " 。 证 （1）∀ε (0 < ε < 2)，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 2 N ，当n > N 时，成立 < < ε + + < n n n 2 1 1 0 2 。 （2）∀ε (0 < ε < 1) ，取 lg lg 0.99 N ⎡ ε ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，当n > N 时，成立 lg lg0.99 ( 1) (0.99) (0.99) n n ε − < = ε 。 （3）∀ε (0 < ε < 2)，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 2 N1 ，当n > N1时，成立 2 1 ε < n ；取 2 5 2 N log ε ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦， 当n > N2 时，成立5−n 2 ε < ；则当n > N = max{N1,N2 }时，成立 1 5 n n ε − + < 。 （4）∀ε (0 < ε < 1) ，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 < < ε + = + + + < n n n n n 1 2 1 2 1 0 3 2 " 。 （5）当n > 11时，有 2 2 2 n 3 3 3 (1 2) 2 n n n n n C = < + n n n n 1 8( 1)( 2) 6 < − − = 。于是∀ε > 0， 取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N max 11, ，当n > N 时，成立 < < < ε n n n 1 3 0 2 。 12