N-3 (6)当n>5,有3≤321 于是vE(0<E<3),取 N=5+ ,当n>N时,成立 n (7)记的整数部分为m,则有m(1)。v0<<D,取 N=21g+4,当n>N时,有m>N-1g,于是成立 0 (8)首先有不等式0<1 +(-1)"<-。VE(0<E<1), nn+1 n+2 取N=「1,当n>N时,成立0<1-1+1 <一<E n n+ n+ 2n n 2.按定义证明下述极限: (2)lim n (3)lim(n2+n-n)= (4)lim√3n+2=1 n+vn (5) lim x=1,其中x n是偶数, n 10-”,n是奇数, 证(1)E>0,取N ,当n>N时,成立 2 3n2+2 3(3n2+2) (2)VE>0,取N 当n>N时,成立（6）当n > 5，有 5 5 5 2 1 3 2 1 5! 3 ! 3 − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ < ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⋅ n n n n 。于是∀ε (0 < ε < 3)，取 lg 3 5 1 lg 2 N ⎡ ⎤ ε ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎥，当n > N 时，成立 ⎟ < ε ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < < ⋅ −5 2 1 3 ! 3 0 n n n 。 （ 7 ） 记 2 n 的整数部分为 m ，则有 m n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < 2 ! 1 。 ∀ε (0 < ε < 1) ， 取 lg 2 4 1 lg 2 N ε ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，当n > N 时，有 lg 1 2 1 lg 2 N m ε > − > ，于是成立 ⎟ < ε ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < < m n n n 2 ! 1 0 。 （8）首先有不等式 n n n n n n 1 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 0 − + − < + + + < − " 。∀ε (0 < ε < 1) ， 取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 − + − < < ε + + + < − n n n n n n 1 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 0 " 。 2. 按定义证明下述极限： ⑴ limn→∞ 2 1 3 2 2 3 2 2 n n − + = ； ⑵ limn→∞ n n n 2 1 + = ； ⑶ limn→∞ ( ) n n n 2 1 2 + − = ； ⑷ limn→∞ 3 2 n n + = 1； ⑸ limn→∞ xn =1,其中 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = − ， ， 是奇数 是偶数 n n n n n x n n 1 10 , , 。 证 （1）∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 < < ε + − = + − 2 2 2 2 1 3(3 2) 7 3 2 3 2 2 1 n n n n 。 （2）∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2ε 1 N ，当n > N 时，成立 13