n+n +n+n (3)VE>0,取N 当n>N时,成立 (Vn2+n-n)-= n+n+n (4)令%3n+2=1+an,则an>0,3n+2=(1+an)>1+Cnla2o当n>3时 有0+,所以>0,取x12 当n>N时,成立 <a (5)va(0<<1),取N=maxg},当n>N时,若n是偶数, 则成立xn- 若n是奇数,则成立n-1 3.举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的 (1)对任意给定的E>0,存在N,使当n>N时成立xn<E; (2)对任意给定的E>0,存在无穷多个x,使|xn|<ε。 解(1)例如xn=-n,则{xn}满足条件,但不是无穷小量 「nn是奇数 (2)例如xn={1 n是偶数 则{xn}满足条件,但不是无穷小量 4.设k是一正整数,证明: lim x=a的充分必要条件是 lim x4=a 证设lmxn=a,则VE>0,3N,W>N,成立xn-a<E,于是也成 所以 设lim 则vE>0,丑",Ⅶm>N,成立xmk-d<E,取< < ε + + − = + n n n n n n n 2 1 1 1 2 2 。 （3）∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 8ε 1 N ，当n > N 时，成立 < < ε + + + − − = n n n n n n n n 8 1 2( ) 2 1 ( ) 2 2 2 。 （4）令 n n 3n + 2 = 1+ a ，则 ， 。当 时， 有 an > 0 2 2 3 2 (1 ) 1 n n n n + = + an > + C a n > 3 n n n n an 3 ( 1) 2(3 1) < − + < ，所以∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 9 ε N ，当n > N 时，成立 + − = < < ε n n an n 3 3 2 1 。 （5）∀ε (0 < ε < 1) ，取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε ε 1 , lg 1 max 2 N ，当 时，若 是偶数， 则成立 n > N n − = < ε n xn 1 1 ；若n是奇数，则成立 − = < ε n n x 10 1 1 。 3. 举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的： (1) 对任意给定的ε > 0，存在 N ，使当n > N 时成立 xn ； n n < ε (2) 对任意给定的ε > 0，存在无穷多个 x ,使｜ x ｜＜ε。 解 （1）例如 xn = −n ，则{xn }满足条件，但不是无穷小量。 （2）例如 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 是偶数 是奇数 n n n n xn 1 ，则{xn }满足条件，但不是无穷小量。 4. 设k 是一正整数，证明：limn→∞ xn = a 的充分必要条件是lim 。 n→∞ xn k + = a 证 设lim ，则 n→∞ xn = a ∀ε > 0，∃N ，∀n > N ，成立 x − a < ε n ，于是也成 立 − < ε xn+k a ，所以limn→∞ xn k + = a ； 设 limn→∞ xn k + = a ，则 ∀ε > 0 ， ∃N' ， ∀n > N' ，成立 − < ε xn+k a ，取 14