N=N+k,则vn>N,成立n-a<E,所以imxn=a 5.设limx2n=lmx2n1=a,证明; lim x=a。 证由imx2=lmx2m=a,可知vE>0,BN1,m>N,成立x2n-d<E; 彐N2,Wn>N2,成立|x2m-d<E。于是取N=max2N1,2N2+1l),n>N 成立|xn-d<6 6.设xn≥0,且lmxn=a≥0,证明: lim vx=va 证首先有不等式际x-vlsv-d由mx=a,可知vE>0,3N, v>N,成立n-<2,于是xn-√a1xn-an<E 7.{xn}是无穷小量,{yn}是有界数列,证明{xnyn}也是无穷小量 证设对一切n,ln≤M。因为{xn}是无穷小量,所以vE>0,彐N, Y>N,成立xn<5。于是Wn>N,成立xnyk<E,所以{xy}也是 无穷小量。 8.利用夹逼法计算极限: (1)lim1+++…+-; n+√n (4)in 1·3·5……(2n-1) 46…(2n) 解(1)由1<1++1+…+-<%h与 lim Wn=1,可知N = N'+k ，则∀n > N ，成立 x − a < ε n ，所以limn→∞ xn = a 。 5. 设lim = ，证明： n→∞ x2n limn→∞ x2 1 n+ = a limn→∞ xn = a 。 证 由lim = ，可知 n→∞ x2n limn→∞ x2 1 n+ = a ∀ε > 0，∃N1， N1 ∀n > ，成立 x − a < ε 2n ； ∃N2，∀n > N2 ，成立 − < ε x2n+1 a 。于是取 N = max{2N1,2N2 +1}， ， 成立 ∀n > N x − a < ε n 。 6. 设 xn ≥ 0，且lim ,证明： n→∞ xn = a ≥ 0 limn→∞ xn = a 。 证 首先有不等式 x − a ≤ x − a 。由limn→∞ xn = a ，可知∀ε > 0， ， ，成立 ∃N ∀n > N 2 x − a < ε n ，于是 − ≤ − < ε n n n an x a x 。 7. { xn }是无穷小量，{ yn }是有界数列，证明{ xn yn }也是无穷小量。 证 设对一切n， yn ≤ M 。因为{ xn }是无穷小量，所以∀ε > 0， ， ，成立 ∃N ∀n > N M xn ε < 。于是∀n > N ，成立 < ε n n x y ，所以{ }也是 无穷小量。 xn yn 8. 利用夹逼法计算极限： (1) limn→∞ n n 1 1 3 1 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + +"+ ； (2) limn→∞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 n + 1 n + 2 + … + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ n + n 1 ； (3) limn→∞ ∑ + = 2 2 ( 1) 1 n k n k ； (4) limn→∞ 135 2 1 246 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ " " ( ) ( ) n n 。 解（1）由 n n n n ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < + + + + 1 1 3 1 2 1 1 1 " 与 lim = 1 →∞ n n n ，可知 15