016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable funct I ajC 二+a)2 (4)a与-a同时位于C的内部,由推论二,有 5:2a=5.=20a+f =0 (X)解析函数不定积分( Undefine integrals) 定理:设f()是单连通域D内的解析函数,二0是D内的一个定点,在D 内定义函数,F()=[f(5)d5,则F(x)也是D内的解析函数,且 F()=f(-),同时,对D内的任意两点x1和2,有 f()d5=F(=2)-F(=1) 证明:为了证明F(x)是解析的,只需要直接 求出它的导数就可以了。设z是D内 一点,z+A是它的邻点,则 F()=.f()d5, F(二+△)=f(A4,因为积分与 路径无关,所以, △2=(+4(日2=1广“d,由此可得, △F f()d2-f(=) "9-小2r(3 由于f(=)是解析的,它一定连续,即,对于任给E>0,存在δ>0, 使得当-<6时,|f(4)-f(=)<E,[只要<d,同时5点落在 以二点为中心,A为半径的圆内,就有(5)-f()<6]所以 4(ys、1 △F A=,即得F()=mF =f() 这就证明了F()在D内处处可导,是D内的解析函数,并且Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 7           i i z z z z z z I C C C                    0 2 2 d d 1 2 d 1 2 2 ; （4）  与 同时位于 C 的内部，由推论二，有 0 d d d 2 2 2 2 2 2                       i i z z z z z z I C C C . 三、 （X）解析函数不定积分 (Indefine integrals) 定理：设 f (z) 是单连通域 D 内的解析函数， 0 z 是 D 内的一个定点，在 D 内定义函数，   z z F z f 0 ( ) ()d ，则 F(z) 也是 D 内的解析函数，且 F(z)  f (z) ， 同 时 ， 对 D 内 的 任 意 两 点 1 z 和 2 z ， 有 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 f F z F z z z      . 证明：为了证明 F(z) 是解析的，只需要直接 求出它的导数就可以了。设 z 是 D 内 一点,z z 是它的邻点，则   z z F z f 0 ( ) ()d ，      z z z F z z f 0 ( ) ()d ，因为积分与 路径无关，所以，            z z z f z z F z z F z z F ()d ( ) ( ) 1 ，由此可得，   1 ( ) ( )d ( ) 1 1 ( ) ( ) d ( ) ( ) d . z z z z z z z z z F f z f f z z z f f z f f z z z                           由于 f (z) 是解析的，它一定连续，即，对于任给   0 ，存在   0， 使得当   z   时， f ()  f (z)   ，[只要   z  ，同时  点落在 以 z 点为中心， z 为半径的圆内，就有 f ()  f (z)   ] 所以           z z f z z F 1 ( ) ，即得 ( ) lim ( ) 0 f z z F F z z        . 这就证明了 F(z) 在 D 内处处可导，是 D 内的解析函数，并且