第23讲紧算子的谱论 教学目的:掌握紧算子谱的特征 讲解要点 1紧算子谱的特征 紧算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子方 程解的关系。 Freidho 1m择一定理 紧算子是一大类有界线性算子,线性代数和积分方程中遇到的很 多算子都是紧算子.本节我们叙述关于紧算子谱的 Riesz- Schauder 理论.为此,我们做一些必要的准备 设X是 Banach空间,C(X)是X中的紧算子的全体 引理1设X是 Banach空间,NcX是有限维子空间,则N是 可余的,即存在闭子空间M使得X=M⊕N 证明N是闭的,设e12…en是N的一组基,对于每个x∈N, a,(x)e 此表达式是唯一的.容易验证,a1(x),…an(x)是N上的线性泛函并且 每个a1(x)是连续的.实际上,a(x)=0当且仅当 (x)e1 (x)e (x)e 故N(a1)=spm{e1…;e-12e-t…,en}为n-1维闭子空间 a1在N上定义,根据Hahn- Banach定理,a1可延拓到整个空间X 上.记延拓后的泛函为a1…;an,设M=∩N(a),M是闭线性子空间 我们证明X=MN1 第 23 讲 紧算子的谱论 教学目的：掌握紧算子谱的特征。 讲解要点： 1 紧算子谱的特征。 2 紧算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子方 程解的关系。Freidholm 择一定理。 紧算子是一大类有界线性算子, 线性代数和积分方程中遇到的很 多算子都是紧算子. 本节我们叙述关于紧算子谱的 Riesz-Schauder 理论. 为此，我们做一些必要的准备. 设 X 是 Banach 空间， C X( ) 是 X 中的紧算子的全体. 引理 1 设 X 是 Banach 空间， N ⊂ X 是有限维子空间，则 N 是 可余的，即存在闭子空间 M 使得 X = M ⊕ N . 证明 N 是闭的，设 1, , n e e ⋅⋅⋅ 是 N 的一组基，对于每个 x∈ N, 1 1 () () n n x = a xe a xe +⋅⋅⋅+ , 此表达式是唯一的. 容易验证， 1( ), , ( ) n ax a x ⋅⋅⋅ 是 N 上的线性泛函并且 每个 1 a x( ) 是连续的.实际上， () 0 i a x = 当且仅当 11 1 1 1 1 () () () () , i i i i nn x a xe a xe a xe a xe = +⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+ − −+ + 故 1 11 ( ) {, , , , , } N a span e e e e i ii n = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ − + 为 n −1维闭子空间. i a 在 N 上定义，根据 Hahn-Banach 定理， i a 可延拓到整个空间 X 上.记延拓后的泛函为 * * 1 , , n a a ⋅⋅⋅ ，设 * 1 ( ), n i i M Na M = = ∩ 是闭线性子空间. 我们证明 XMN = ⊕