若x∈M∩N,则一方面对于每个,x∈N(a),a1(x)=0,又 x∈N,故 x=a, (x)e,+.+a,(x)em, =0 即M∩N={0}.另一方面,Vx∈X,记x=a1(x)e1+…an(x)en,则 x∈N并且 a(x-a 于是y'=x-x∈M,x有分解x=x+y.所以X=M由N. 引理2设X是 Banach空间,A∈C(X),元∈C,A≠0,则 N(AI-A)是有限维的,R(-A)是X的闭线性子空间 证明1°考虑N=N(-A)I-A是有界线性算子,故N是 闭线性子空间.Vx∈N,Ax=Ax,即A(N)=AN=N.A是紧算子 设{xn}是单位球中的任一序列,则{}是有界序列,A4()=xn于是 {x}中有子序列{xn}收敛.这说明N的闭单位球是紧的,从而N是 有限维的 2°由引理1,存在闭线性子空间M,X=M⊕N,我们证明 M=R(I-A) 定义算子B:M→X,Bx=x-Ax.由于X=MN,在N上, -A=0,故R(B)=R(4I-A).B是一一的,实际上若 Bx1=Bx2x,x2∈M,则 (I-A)x=(A-A)x2,或(A/-A)(x1-x2)=0 故一方面x1-x2∈M,另一方面x-x2∈N(-A)=N,所以 现在我们证明存在a>0,‖Bx‖2alxl,lvx∈M.否则,存在 X.∈M Bxn|n‖xn,不失一般性设‖xn|=1,则‖Bx|kn1.A是紧的 故有子列xn,Ax→x∈X.但Axn=Axn-Bx,由Bx>0知2 若 x ∈ ∩ M N, 则一方面对于每个 , ( ), ( ) 0, i i ix Na a x ∈ = 又 x∈ N, 故 1 1 () () n n x = a xe a xe +⋅⋅⋅+ = 0, 即 M N ∩ = {0}. 另一方面， ∀ x∈ X , 记 '* * 1 1 () () , n n x = +⋅⋅⋅ a xe a xe 则 ' x ∈ N 并且 * ' * *' * * ( ) () ( ) () () 0 i ii ii ax x ax ax ax ax −= − = − = ， i n = 1, . ⋅⋅⋅ 于是 ' y x x Mx ' , =−∈ 有分解 ' ' x = x y + . 所以 XMN = ⊕ . 引 理 2 设 X 是 Banach 空 间 ， A∈C X( ), λ ∈C, 0, λ ≠ 则 NIA ( ) λ − 是有限维的， R( ) λI A − 是 X 的闭线性子空间. 证明 1 D 考虑 NNIA IA = ( ), λ − − λ 是有界线性算子，故 N 是 闭线性子空间. ∀ x ∈ = N Ax x , , λ 即 A( ) N NN = λ = . A 是紧算子， 设{ }n x 是单位球中的任一序列，则{ }n x λ 是有界序列， () . n n x A x λ = 于是 { }n x 中有子序列 { }k n x 收敛. 这说明 N 的闭单位球是紧的，从而 N 是 有限维的. 2D 由引理 1，存在闭线性子空间 M , XMN = ⊕ , 我们证明 M = − RIA ( ) λ . 定义算子 B : , M X Bx x Ax → =− λ .由于 XMN = ⊕ ，在 N 上， λI A − = 0 ， 故 R() ( ) B RIA = − λ . B 是一一的，实际上若 1 212 Bx Bx x x M = ∈ ,, , 则 1 2 ( )( ) λI − =− Ax I Ax λ ，或 1 2 ( )( ) 0 λI Ax x − − = ， 故一方面 1 2 x − ∈ x M , 另一方面 1 2 x − x NIA N ∈ −= ( ) λ ，所以 12 1 2 x −= = x xx 0, . 现在我们证明存在 a Bx a x x M > ≥ ∀∈ 0, || || || ||, . 否则，存在 , n x ∈ M 1 || || || || B n n x nx − < ，不失一般性设 || || 1 n x = ，则 1 || || B n x n− < . A 是紧的， 故有子列 0 , . k k n n x Ax x X → ∈ 但 k kk A n nn x x Bx = λ − ， 由 0 k Bxn → 知