a ≥(a1…an)"=(a1…a)”,此即“几何平均”≤“算术平均”。 4、设a1,B>0,(=1,2…,m),求证: a1+a+an a1+a2+…+a B,+B B B. 证:先考察n=2情形。将欲证不等式/+a2) B1+B2 A)变形为 B,+B2B,+B2 B1 B2 1+ ≤|1+ B2 注意到B1,B2的任意性,可见左边应 B 是函数q()=(+1)“(+)“(1+1)在(O,∞)的最小值。这只要通过考察导数: ()=(+)+ (t-02)的符合即可得证。当n>2时,记a=a2+…+an β=β2+…+Bn并由归纳法即可证明 5、证明:当x>0时, x(x+1) 证:注意到x→>+∞时,不等式两边都趋于零,故作变换y=-,不等式可改写成 y-√1+y(1+y)>0(y>0)。记o(y)=y-√1+yh(1+y),则(O)=0,故只 须证(y)↑。由于g’(y)>0,即证 6、x>0,证明:当t≤x时e-(1--)x≥0。 证:不等式可变形为xl(1--)≤-1。显然当t=0,x时不等式已成立,以下设15 n n n n n a a a a n a a 1 1 1 1 ( ) ( )          = + + ，此即“几何平均”  “算术平均”。 4、设 , 0 ,(i 1,2, ,n) i  i  =  ，求证： n n n n n n                                        + + + + + + + +    1  1 1 1 1 2 1 2 。 证：先考察 n = 2 情形。将欲证不等式 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2                                      + + + 变形为 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2                         +         +          +         + ，即 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1                     +          +         +         + ，注意到 1 2  ,  的任意性，可见左边应 是函数 (0, ) (1 ) ) 1 ( ) (1 ) (1 2 1 2 1 2  + = + + = +  在      t t t t t 的最小值。这只要通过考察导数： ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 1 1 2 1 2        − +  = + + − t t t t 的符合即可得证。当 n＞２时，记  = 2 ++ n 、  =  2 ++  n 并由归纳法即可证明。 5、证明：当 x＞０时， ) 1 ln (1 ( 1) 1 2 x x x  + + 。 证：注意到 x → + 时，不等式两边都趋于零，故作变换 x y 1 = ，不等式可改写成 y − 1+ y ln(1+ y)  0 (y  0) 。记 ( y) = y − 1+ y ln(1+ y) ，则 (0) = 0 ，故只 须证 (y) 。由于（y)  0 ，即证。 6、ｘ＞０，证明：当ｔ  ｘ时 − (1− )  0 −t x x t e 。 证：不等式可变形为 t x t x ln(1− )  − 。显然当ｔ＝０,ｘ时不等式已成立，以下设