第二部分:不等式与中值定理应用 主要内容:函数、和式、积分不等式的建立、证明与应用;函数极值、单调、凸性的 讨论与应用。 §1.微分方法的应用 相关知识点 1.微分中值定理,泰勒公式。 2.利用单调性讨论导出不等式 3.利用讨论极值的方法导出不等式 范例 1.证明贝努力不等式:若ag(0,1),则当x>-1时(1+x)“≥1+ax 若a∈(0,1),则当 1+ 证:设f(x)=(1+x)-1-ax,考察f(x)的符号 2、证明杨格不等式:若x,y∈R,p>1、11∠1,则xys+ p q 证:原不等式可变形为 2(x)7 ≥1。令t=_ 考察函数 t-,(t>0),可证p(t)≥(1)=1。 3、设a1,…an为正数,a<0<B证明不等式 证:(a,)2=(a)5+…+,由于1<0,故x关于x单调减少, 由此变形即得到第一个不等式。又注意到B>0,故后一个不等式可变形为:14 第二部分：不等式与中值定理应用 主要内容：函数、和式、积分不等式的建立、证明与应用；函数极值、单调、凸性的 讨论与应用。 §1.微分方法的应用 相关知识点: 1. 微分中值定理,泰勒公式。 2. 利用单调性讨论导出不等式。 3. 利用讨论极值的方法导出不等式。 范例： 1． 证明贝努力不等式：若   （0，1），则当 x＞－１时  (1+ x)  1+  x 。 若   （0，1），则当 x＞－１时  (1+ x)  1+  x 。 证：设 f(x)＝  (1+ x) - 1 -  x ，考察 f (x) 的符号。 2、证明杨格不等式：若 1 1 1 ,  ,  1 , + = + p q x y R p ，则 q y p x xy p q  + 。 证：原不等式可变形为 1 1 1 1 1 1 1       −  + − − − p p p x y p p y x p 。令 −1 = p x y t ，考察函数 , ( 0) 1 1 1 ( ) 1 1  − = + − t t p p p t t p  ，可证 (t)  (1) = 1 。 3、设 a1 ,  ,an 为正数，  0   .证明不等式：       1 1 1 1 2 1 1 ( )         +           + + n a a a a a n a a n n n n    证： 由于 故 x 关于x单调减少 n a a a a a a n n n n n        1 1 1 1 1 0 , 1 ( ) ( ) ,  + + =     ， 由此变形即得到第一个不等式。又注意到   0 ，故后一个不等式可变形为：